Die Hesse Matrix hat folgende Einträge

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion

$$ f\left(x_{1}, x_{2}\right)=-5+3 x_{2}+5 x_{1}^{2}+1 x_{1} x_{2}-4 x_{1}^{3}-2 x_{1}^{2} x_{2} $$
an der Stelle \( \left(x_{1}, x_{2}\right)=(1,-1) \)

Die Hesse-Matrix \( f^{\prime \prime}(1,-1) \) hat folgende Einträge: ...............   ...............   .............   .................

Die Determinante dieser Hesse-Matrix beträgt: ..............

An dieser Stelle ist die Funktion:
f.1. konvex
f.2. konkav
f.3. weder konvex noch konkav

Hat jemand eine Ahnung wie man hier vorgeht?

Answer 1

Aloha :)

Für die Hesse-Matrix der Funktion$$f(x_1,x_2)=-5+3x_2+5x_1^2+x_1x_2-4x_1^3-2x_1^2x_2$$benötigen wir alle Ableitungen bis zur 2-ten Ordnung:$$\partial_1f(x_1,x_2)=10x_1+x_2-12x_1^2-4x_1x_2$$$$\partial_2f(x_1,x_2)=3+x_1-2x_1^2$$$$\partial_{11}f(x_1,x_2)=\partial_1\partial_1f(x_1,x_2)=10-24x_1-4x_2$$$$\partial_{21}f(x_1,x_2)=\partial_2\partial_1f(x_1,x_2)=1-4x_1$$$$\partial_{22}f(x_1,x_2)=0$$Speziell an der Stelle \((1|-1)\) lautet die Hesse-Matrix:$$\mathbf H=\begin{pmatrix}\partial_{11}f(1;-1) & \partial_{12}f(1;-1)\\\partial_{21}f(1;-1) & \partial_{22}f(1;-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10 & -3\\-3 & 0\end{pmatrix}$$Die Determinante dieser Matrix ist: \(\operatorname{det}(\mathbf H)=-9\).

Die Eigenwerte von \(\mathbf H\) sind:$$\lambda_1=-5-\sqrt{34}<0\quad;\quad \lambda_2=\sqrt{34}-5>0$$Daher ist \(\mathbf H\) indefinit und damit ist \(f\) an der Stelle \((1|-1)\) weder konvex noch konkav.

Answer 2

Wo liegen denn deine Schwierigkeiten.

Ich komme zur Kontrolle auf folgende Hesse-Matrix [-10, -3; -3, 0].