Dimensionsformel für 3 Untervektorräume Gegenbeispiel...

Question

Aufgabe:

Zeige dass folgende Formel für die Dimension von Untervektorräumen nicht gilt, durch Angabe eines Gegenbeispiels: $$dim(U_1 +U_2 +U_3)= dim(U_1)+dim(U_2)+dim(U_3)-dim(U_1\cap U_2)-dim(U_1\cap U_3)-dim(U_2\cap U_3)+ dim(U_1\cap U_2\cap U_3)$$

Problem/Ansatz:

Schreibt man $$ U_1 +U_2 = V$$ erhalte ich durch die Dimensionsformel für Untervektorräume $$dim(V+U_3)= dim(V) + dim(U_3) - dim(V\cap U_3)$$ mit $$dim(V)= dim(U_1)+ dim (U_2) - dim(U_1\cap U_2)$$. Vergleicht man das mit der vorgegebenen Formel muss $$dim(V\cap U_3)\neq dim(U_1\cap U_3)+ dim(U_2\cap U_3)- dim(U_1\cap U_2\cap U_3)$$ damit die vorgegebene Formel nicht stimmt. Aber da bleibe ich hängen. Mir fällt kein Beispiel ein, das dieses Kriterium erfüllt.

Comments

Versuche es mal mit 3 paarweise verschiedenen Geraden die in einer Ebene liegen.

Answer 1

Vielleicht geht es so mit Unterräumen von R^4

U1=<(1,0,0,1)> , U2=<(1,0,1,0)> , U3=<(1,1,0,0)>