Folgen und deren Darstellungen

Question

habe folgende Aufgabe zu lösen:

Berechnen Sie für die rekursiv definierte Folge (an)n∈ℕ (beide klein n) mit an+1 = 2an - an-1 +2 mit a0 = 0 und a1 = 6 eine explizite Darstellung.

Ich verstehe die Aufgabe an sich und bekomme die Folgezahlen raus:

a1 = 6

a2 = 14

a3 = 24

a4 = 36

a5 = 50

also 8, 10, 12, 14, 16..

habe aber Problem bei der Aufstellung der Funktion bzw. der expliziten Darstellung.. Würde mich freuen, wenn mir jemand von euch Mathegenies helfen könnte. ☺

Answer 1

Aloha :)$$a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}+2\quad;\quad a_0=0\;;\;a_1=6$$

Um eine Idee für die geschlossene Form zu finden, bestimmen wir die ersten Folgenglieder:$$a_0=0=0\cdot(0+5)$$$$a_1=6=1\cdot(1+5)$$$$a_2=14=2\cdot(2+5)$$$$a_3=24=3\cdot(3+5)$$$$a_4=36=4\cdot(4+5)$$$$a_n\stackrel{?}{=}n\cdot(n+5)$$

Wir untermauern unsere Vermutung durch vollständige Induktion. Dass die Formel für \(n=0,1,2,3,4\) gilt, haben wir bereits bei der Auflistung gezeigt. Daher bleibt nur noch der Induktionsschritt:$$a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}+2\stackrel{(I.V.)}{=}2n(n+5)-(n-1)(n-1+5)+2$$$$\phantom{a_{n+1}}=2n^2+10n-(n-1)(n+4)+2=2n^2+10n-(n^2+3n-4)+2$$$$\phantom{a_{n+1}}=n^2+7n+6=(n+1)(n+6)\quad\checkmark$$Damit haben wir bewiesen, dass:$$\boxed{a_n=n(n+5)}$$

Answer 2

Ist die zweite Differenzenreihe eine konstante Folge handelt es sich um eine quadratische Funktion.

6, 14, 24, 36, 50

erste differenzenreihe

8, 10, 12, 14

zweite differenzenreihe

2, 2, 2

Teile diese 2. Differenzenreihe durch 2

a = 2/2 = 1

ziehe von der ersten zahl der zweiten differenzenreihe 3a ab und du erhältst b

b = 8 - 3*1 = 5

ziehe von der ersten zahl der ersten reihe a und b ab und du erhältst c

c = 6 - 1 - 5 = 0

Also probiere es mit

an = 1*n^2 + b*n