50 Personen. 21 von denen sind für den Straßenbau, der Rest dagegen. Lieg ich bei den Wahrscheinlichkeiten richtig?

Question

Aufgabe:

In einem Ort wohnen 50 Personen. 21 von denen sind für den Straßenbau, der Rest dagegen. Es werden 10 Personen zufällig ausgewählt.

Gesucht: P für "keiner der 10 Personen ist dafür"

Gesucht: P für "mindestens einer ist dafür"

Gesucht: P für "genau 4 sind dafür"

Problem/Ansatz:

Bei der ersten Wahrscheinlichkeit komm ich auf 0,195%. (29/50)*(28/49)*(27/48)*(26/47)*(25/46)*(24/45)*(23/44)*(22/43)*(21/42)*(20/4)

Bei der zweiten Wahrscheinlichkeit komm ich auf 80,5%, da 1-0,195=0,805

Bei der dritten Wahrscheinlichkeit komm ich auf 24%. (Ansatz: Bernoulli-Formel und einsetzen)

Lieg ich da richtig? oder habe ich mich verrechnet bzw. etwas falsch verstanden?

Answer 1

Bei der ersten Wahrscheinlichkeit komm ich auf 0,195%.

Richtig.

Bei der zweiten Wahrscheinlichkeit komm ich auf 80,5%, da 1-0,195=0,805

100% - 0,195%.

Bernoulli-Formel und einsetzen

Die Anzahl der Personen, die für den Straßenbau sind, ist hypergeometrisch verteilt, nicht binomialverteilt.

Binomailverteilung darfst du als Näherung verwenden, wenn die Größé der Stichprobe (hier 10) im Vergleich zur Grundgesammtheit (hier 50) klein ist. Das ist hier eher nicht der Fall. Mit hypergeometrischer Verteilung gerechnet bekommt man 27,68 %.

Comments

Erstmal vielen Dank!

Die letzte Aufgabenstellung fordert eine Begründung bezüglich der Veränderung in der Berechnung, wenn die Einwohneranzahl so groß wie in Hamburg wäre..(ca.2 Mio)

Würden Sie sagen, dass der Kern dieser Aufgabe auf der, von Ihnen verfassten, Erklärung basiert, dass unter solchen Umständen die Binomialverteilung als Näherung verwendet werden kann oder geht es um etwas anderes?

Wär echt lieb, wenn sie mir noch einmal helfen könnten!

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Würden Sie sagen, dass der Kern dieser Aufgabe auf der, von Ihnen verfassten, Erklärung basiert, dass unter solchen Umständen die Binomialverteilung als Näherung verwendet werden kann

Ja.

Answer 2

oder hypergeometrisch:

a) (29über10)*(21über0)/(50über10)

Answer 3

Zieht man ohne Zurücklegen aus einer Menge und interessiert sich für die Anzahl an Treffer dann handelt es sich um die hypergeometrische Verteilung. Ich sage oft auch Lotto-Verteilung. Wird die Menge aus der man zieht gegenüber der Anzahl Elemente die man zieht sehr sehr groß, kann man die Wahrscheinlichkeit durch die Binomialverteilung nähern.

So würde ich die Wahrscheinlichkeiten berechnen

P(X = 0) = (21 über 0)·(29 über 10)/(50 über 10) = 0.001950
P(X ≥ 0) = 1 - 0.001950 = 0.99805
P(X = 4) = (21 über 4)·(29 über 6)/(50 über 10) = 0.2768