Zeige: Konvergenz der Summandenfolge folgt aus Konvergenz der zugehörigen Reihe

Question

Hallo Leute, ich brauche dringende Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

a) Es sei (an)n∈ℕ eine Folge, deren Reihe ∑(oben(∞), unten(n=1))an konvergiert. Zeigen Sie, dass dann auch (an)n∈ℕ konvergiert und dass zusätzlich gilt lim n → ∞ an = 0

b) Zeigen Sie, dass die Umkehrung nicht gilt (lim n → ∞ an = 0 ⇒ ∑(oben(∞), unten(k=1))an konvergiert).

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass dann auch (an)n∈N konvergiert und dass zusätzlich gilt lim an = 0.

Stichworte: folge

ich brauche eure Hilfe bei folgender Frage :

Es sei (an)n∈N eine Folge, deren Reihe  konvergiert.

 Zeigen Sie, dass dann auch (an)n∈N konvergiert und dass zusätzlich gilt lim an = 0.

b) Zeigen Sie, dass die Umkehrung nicht gilt ( lim  an = 0  ===>  konvergiert)

Answer 1

a)

Stell dir mal vor, die Folge \((a_n)\) wäre keine Nullfolge. Dann gäbe es ein \(\varepsilon _0 >0\), so dass \(|a_n|>\varepsilon _0\) für unendlich viele \(n\in \mathbb{N}\) gilt. Es gibt also zu jedem \(N\in \mathbb{N}\) ein \(n>N+1\) mit der Eigenschaft:$$\left |\sum_{k=0}^{n}{a_k}-\sum_{k=0}^{n-1}{a_k}\right |=|a_n|>\varepsilon_0$$ Diese Reihe würde dann das Cauchy-Kriterium nicht erfüllen und damit nicht konvergent sein, im Widerspruch zur Annahme, dass die Reihe konvergiert. Die Folge muss also eine Nullfolge sein.

Alternativ mit Napkin18s Idee:

Setzt man \(a_k=s_k-s_{k-1}\) wobei \(s_k\) die Partialsummen bezeichnet, dann folgt aus \(s_k\to s\) (nach Voraussetzung hat die unendliche Reihe einen endlichen Wert) und damit auch \(s_{k-1}\to s\). Insgesamt ist dann \(a_k=s_k-s_{k-1}\to s-s=0\) für \(k\to \infty\).

b)

Das wohl bekannteste Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe . Diese divergiert, also \(\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}=\infty\), obwohl offensichtlich \(a_n:=1/n \to 0\) für \(n\to \infty\). Da gibt es auch einen sehr schönen, einfachen Beweis von Oresme zu. Ich verlinke dir den mal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe#Divergenz

Comments

Wenn man bei der a) all das, was du gesagt hast mathematisch formuliert, dann wäre der Beweis schon fertig, oder?

---

Ja, insofern das Cauchy-Kriterium bekannt ist.

Answer 2

Von Beweisversuch:

Titel: Zeigen Sie nun das hieraus folgt, dass

Stichworte: folge,konvergenz,grenzwert

Aufgabe: 

1.) Gegeben ist die Folge (a_n)_n∈ℕ und ihre Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} \), welche konvergiert. Zeigen Sie nun dass hieraus folgt, dass somit die Folge (a_n)_n∈ℕ konvergiert und dass lim _n →∞ a_n = 0 gilt.

2.) Gilt auch die Umkehrung?

Ansatz: 

1.) Hier möchte ich verwenden dass ja gilt:  "Eine Reihe konvergiert, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert."

Wählt man nun die Folge der Partialsummen mit (s_n)_n∈ℕ, müsste nun ja gelten s_n = \( \sum\limits_{i=1}^{n}{a_i} \)   konvergiert.

Somit müsste es eine Grenzwert geben mit  lim _{n →∞} s_n = s.

Hieraus müsste ja nun folgen dass gilt lim _{n →∞} a_n = lim _{n →∞} (s_n - s_n-1) = lim _{n →∞} s_n - lim _{n →∞} s_n-1 = s - s = 0

Dies müsste ja nun zeigen dass der Teil mit lim _{n →∞} a_n = 0 gilt. Allerdings stehe ich auf dem Schlauch und bin mir nicht sicher, wie ich nun auch zeigen kann, dass die Folge (a_n)_n∈ℕ nun auch konvergiert.

2.) Ich habe die Vermutung das die Umkehrung nicht gilt, bin mir allerdings nicht sicher wie ich dies zeigen kann.

Ist meine Ansatz bei 1.) soweit korrekt? Würde mich über Hilfe sehr freuen.

Comments

https://www.mathelounge.de/732405/zeigen-von-konvergenz

---

und auch https://www.mathelounge.de/733335/zeigen-sie-dass-dann-auch-konvergiert-dass-zusatzlich-gilt

---

Falls nötig kann rc auch deinen Ansatz noch kommentieren.

Das Gegenbeispiel steht jedenfalls schon in der Antwort.

---

Napkin18s Idee ist sehr schön, viel schöner als mein bisheriger Beweis, der sich dem Cauchy-Kriterium und damit einem schwereren Geschütz bedient.

Setzt man \(a_k=s_k-s_{k-1}\) wobei \(s_k\) die Partialsummen bezeichnet, dann folgt aus \(s_k\to s\) (nach Voraussetzung hat die unendliche Reihe einen endlichen Wert) damit auch \(s_{k-1}\to s\). Insgesamt ist dann \(a_k=s_k-s_{k-1}\to s-s=0\) für \(k\to \infty\).

Sehr schöner Gedankengang!

(Ich habe das als Alternativ-Beweis meiner Antwort beigefügt)

---

Habe nun aus Napkins Beweisversuch eine Antwort gemacht.

---

Danke für das Feedback.

Answer 3

Hallo

∑a_n= endlich, nimm an  dass lim a_n >0 dann  was folgt für die Summe

2. ein Gegenbeispiel reicht , das kennst du sicher

Gruß lul

Answer 4

Aloha :)

a) Wenn die Reihe \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) konvergiert, dann gibt es nach dem Cauchy'schen Konvergenzkriterium zu jedem \(\varepsilon>0\) ein \(n_0\in\mathbb N\), sodass:$$\left|\sum\limits_{k=m}^n a_k\right|<\varepsilon\quad\text{für}\quad n\ge m\ge n_0$$Insbesondere gilt dies auch für den Fall \(n=m\), sodass:$$\left|\sum\limits_{k=n}^n a_k\right|=|a_n|=|a_n-0|<\varepsilon\quad\text{für}\quad n\ge n_0$$Nach der Definition des Grenzwertes von Folgen konvergiert die Folge \((a_n)\) also gegen \(0\).

b) Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht, d.h. es gibt Nullfolgen \((b_n)\), deren Summe nicht kovergiert. Das prominenteste Beispiel ist vermutlich die einfache harmonische Reihe mit \(b_n=\frac{1}{n}\):$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\to\infty$$Die Reihe divergiert, obwohl die Folge \((b_n)\) eine Nullfolge ist.

Ergänzung: Es gibt noch eine Verschärfung des obigen Nullfoglen-Kriteriums, den sog. "Satz von Olivier". Er besagt, dass nicht nur \((a_n)\) eine Nullfolge sein muss, sondern dass sogar \((n\cdot a_n)\) eine Nullfolge sein muss.

Comments

Dann konvergiert auch die Reihe  \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n\)  nicht.