Für welchen Wert von t geht ft durch die Punkte P1(1,0) und P2(−1,0)?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion ft in Abhängigkeit des reellen Parameters t ≥ 0:
ft(x) = t²x2 − 1/ x² + 1
a) Für welchen Wert von t geht ft durch die Punkte P1(1,0) und P2(−1,0)?
b) Wie muss t gewählt werden, die ft die Asymptote y = 2 hat?
c) Wie muss t gewählt werden, die ft keine Schnittpunkte mit der x-Achse hat?
d) Bei welchem Wert von t sind die Schnittpunkte von ft mit der x-Achse auch Wendepunkte?

Problem/Ansatz:

lösen

Comments

heißt die Funktion $$f_t(x) = t^2x^2 - \frac 1{x^2} + 1$$oder $$f_t(x) = \frac{t^2x^2 - 1}{x^2} + 1$$oder anders?

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Ist es wirklich:

$$f_{t}(x)=t^2 * x^2 -\frac{1}{x^2} + 1 $$

Da macht b) keinen Sinn .

Answer 1

Wird wohl so sein:

$$f_{t}(x)=\frac{t^2 * x^2 -1}{x^2+1} $$

a) Für welchen Wert von t geht ft durch die Punkte P1(1,0) und P2(−1,0)?

ft(1)=0  <=>   t^2 - 1 = 0   <=>   t^2 = 1 <=>  t=0   (wegen t ≥0)

b) Wie muss t gewählt werden, die ft die Asymptote y = 2 hat?

t^2 = 2 also  t = √2     (wegen t ≥0)

          
c) Wie muss t gewählt werden, die ft keine Schnittpunkte mit der x-Achse hat?

t^2 * x^2 -1 = 0   soll keine Lösung haben

           x^2 =1 /  t^2 . Das hat immer  Lösungen:   x=1/t oder x=-1/t außer für t=0

d) Bei welchem Wert von t sind die Schnittpunkte von ft mit der x-Achse auch Wendepunkte?
                  f _t' ' (x) = (  -6x^2 + 2 ) ( t^2 + 1) / ( x^2+1)^3

            f _t' ' (1/t) = (  -6/t^2 + 2 ) ( t^2 + 1) / ( 1/t^2+1)^3  = 0

                            <=>    -6/t^2 + 2 = 0    <=>   t = √(3).

Sieht dann so aus:  ~plot~ ( (3)*x^2 - 1) / (x^2 + 1) ~plot~