Aloha :)
Da die Quotientenregel zum Ableiten doof ist, machen wir zuerst folgende Umformung:$$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x}}=\frac{1+x-1}{\sqrt{1+x}}=\frac{1+x}{\sqrt{1+x}}-\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sqrt{1+x}-\frac{1}{\sqrt{1+x}}$$$$f(x)=(1+x)^{\frac{1}{2}}-(1+x)^{-\frac{1}{2}}$$$$f'(x)=\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{3}{2}}$$$$f''(x)=-\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}}-\frac{3}{4}(1+x)^{-\frac{5}{2}}$$
Speziell an der Stelle \(x_0=2\) finden wir:$$f(2)=3^{\frac{1}{2}}-3^{-\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{2}}\left(1-3^{-1}\right)=\sqrt3\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}\sqrt3$$$$f'(2)=\frac{1}{2}\,3^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\,3^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{2\sqrt3}\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2\sqrt3}\,\frac{4}{3}=\frac{4\sqrt3}{18}=\frac{2}{9}\sqrt3$$$$f''(2)=-\frac{1}{4}\,3^{-\frac{3}{2}}-\frac{3}{4}\,3^{-\frac{5}{2}}=-\frac{1}{4\sqrt3}\left(\frac{1}{3}+3\cdot\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{4\sqrt3}\,\frac{2}{3}=-\frac{1}{18}\sqrt3$$
Wir können damit die gewünschte Taylor-Näherung formulieren:$$T_{f,2,2}(x)=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)+\frac{1}{2}f''(2)\cdot(x-2)^2$$$$T_{f,2,2}(x)=\frac{2\sqrt3}{3}+\frac{2\sqrt3}{9}(x-2)-\frac{\sqrt3}{36}(x-2)^2$$
Zur Restgliedabschätzung können wir nach Lagrange das Betragsmaximums des nächstfolgenden Taylor-Summanden im Intervall \(x\in[1;3]\) heranziehen.
$$f'''(x)=\frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}}+\frac{15}{8}(1+x)^{-\frac{7}{2}}$$$$f'''(2)=\frac{3}{8}(3)^{-\frac{5}{2}}+\frac{15}{8}(3)^{-\frac{7}{2}}=\frac{1}{8\sqrt3}\left(3\cdot\frac{1}{9}+15\cdot\frac{1}{27}\right)=\frac{1}{8\sqrt3}\cdot\frac{8}{9}=\frac{1}{27}\sqrt3$$$$R_{f,2,2}(x)=\left|\frac{1}{3!}\cdot\frac{1}{27}\sqrt3\cdot(x-2)^3\right|=\left|\frac{\sqrt3}{162}(x-2)^3\right|<\frac{\sqrt3}{162}\quad\text{für}\quad x\in[1;3]$$Die maximale Abweichung liegt also bei \(\frac{\sqrt3}{162}\approx0,0107\).
