Aufgabe:
Seien \(λ_1, λ_2, c_1, c_0 ∈ ℝ\) und \(f(x) = x^2 − c_1\cdot x − c_0\) ein Polynom mit zwei Nullstellen \(x_0, x_1 ∈ ℝ\). Wir betrachten den Vektorraum \(U ≤ Abb(ℕ, ℝ) \) dieser ist definiert durch
\(U = \{f ∈ Abb(ℕ,ℝ): \forall \ k∈ℕ\) gilt \(f(k+2)=c_1\cdot f(k+1)+c_0\cdot f(k)\}\).
Die beiden Aufgabenstellungen dazu lauten:
(i) Ist \(x_0 \neq x_1\) , so existieren für alle \(f ∈ U\)
\(f(n)=λ_1\cdot x_0 +λ_2\cdot x_1\).
(ii) Ist \(0 \neq x_0 = x_1\), so existieren für alle \(f∈ U\)
\(f(n) = (λ_1\cdot n+λ_2)·x_0\).
Problem/Ansatz:
Ich hab echt Probleme mit der Aufgabe. Ich weiß, dass man in etwa darüber gehen kann, dass die Abbildung ein Isomorphismus ist. Freue mich über Tipps und Lösungen.
Gruß Leon
