Beweisen oder widerlegen Sie: lineare Abbildung ist invertierbar

Question

Beweisen oder widerlegen Sie:

Eine lineare Abbildung A∈End(V) mit A² -A + id_v = 0 ist stets invertierbar, wenn (-1) kein Eigenwert von A ist.

was ist id_v und wie kann ich das dann beweisen?

Comments

id_V ∈ End(V) mit id_V(v)  = v ∀ v ∈ V.

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id_V ist die identische Abbildung, also die mit der Einheitsmatrix als Matrix.

Mit Matrizen formuliert wäre deine Gleichung ( A ist dann die Matrix der Abb. A)

A^2 -A + E = 0 

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Habe was falsches geschrieben, einfach vergessen.

Answer 1

$$ A^2 - A + E = A(A-E) + E = 0  $$ also $$ A(E-A) = E $$ Wenn $$  \det(E-A) \ne 0  $$ gilt, folgt \( A \) ist invertierbar und $$ A^{-1} = E-A $$

Wann gilt \( \det(E-A) \ne 0 \)?