Konvergenz geometrischer Reihen

Question

\( \begin{aligned} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n^{n}}}{n^{n}} &=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x^{n}}{n}\right)^{n} \\ &=\frac{1}{1-\left(\frac{x^{n}}{n}\right)}  \end{aligned} \)

Ich komme ab hier nicht weiter. Ich weiß, dass das die geometrische Reihe ist, habe es auch versucht anzuwenden.

Answer 1

Das ist keine geometrische Reihe; denn das q hängt ja von n ab.

Comments

Ohh.. aber die allg geometrische Reihe lautet doch so : \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{q^n} \) = \( \frac{1}{1-q} \) . In dem Fall ist ja eig mein q=\( \frac{x^n}{n} \).

Das verstehe ich jetzt nicht so ganz leider :(

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q ist eine reelle Zahl |q|<1.

Answer 2

Hallo,

das kann  man so nicht rechnen.

x^{n^n} ist nicht gleich (x^n)^n
Desweiteren kannst du nicht einfach die Formel für die geometrische Reihe nehmen, weil x^n/n keine konstante Zahl ist.

Das ist eine Potenzreihe, deren Potenzradius bestimmt man mit der Formel von Cauchy-Hadamard.

Comments

stimmt da hab ich mich wirklich vertan, danke dir !

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ja mit dem Wurzelkriterium versuche ich gerade, muss ich aber dafür nicht x^n nicht ausklammern ?

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Die Potenzreihe wäre erstmal in die Form

∑ a_{k} x^k

zu überführen.

Denn aufgrund des Terms x^{n^n}

treten einige Potenzen gar nicht auf.

Summe = x^1/1 + x^4/4 +x^27 /27+...

usw.

Dann wäre

a_k = { 1/k , ∃n ∈ℕ: k=n^n

              0          sonst

Darauf kannst du nun Cauchy-Hadamard anwenden.

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Dann hätte ich r=\( \frac{1}{lim sup \sqrt[k]{\frac{x^k}{k}}} \)= ....= \( \frac{1}{lim sup \frac{x}{1}} \) konvergiert dass dann gegen 0?

oder müsste ich bei \( \frac{1}{k} \) das Wurzelkriterium anwenden, ich verstehe das glaub ich nicht so ganz tut mir leid :/

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Oder ich glaube ich weiß jetzt wo mein Fehler liegt, wenn ich das diesmal richtig gemacht habe ist r=1 ?

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Bei Cauchy-Hadamard geht bloß a_k ein:

$$r= \frac{1}{lim sup \sqrt[k]{|a_k|}}$$

Aufgrund des limes sup interessiert hier nur der Part a_k =1/k

also

$$r= \frac{1}{lim  \sqrt[k]{1/k}}=1/1=1$$