Drehung: Orthonormalbasis,id, Abbildung, Affinität, Translationsanteil

Question

Aufgabe:

$\mathrm{H} 22$ Drehung
Sei $\delta: R^{3} \rightarrow R^{3}$ die Drehung des $R^{3}$ mit Drehachse $v=(-1,1,1)^{\top}$ und Drehwinkel $\varphi=\frac{\pi}{3}$
a) gesucht: Orthonomalbasis $\omega: w_{1}, w_{2}, w_{3}$ mit $L\left(w_{1}\right)=L(v)$
b) Bestimmen sie $E{\text {id }} w$ und w id $E$ wobei$E$ die Standardbasis des $R^{3}$ bezeichnet

c) Bestimmen Sie WδW und EδE, wobei E die Standardbasis des R^3 bezeichnet. 
d) Sei die Affinität α gegeben durch
$$\alpha: R^{3} \rightarrow R^{3}: U \mapsto \delta^{6}(V)+t, \quad t \in R^{3}$$
Bestimmen Sie den Translationsanteil t so, dass gilt
$$(\alpha \circ \alpha)\left((1,1,1)^{\top}\right)=(3,-3,5)^{\top}$$

Problem/Ansatz:

Zur a) w1 ist ja bekannt = (-1,1,1)

Für w2 habe ich ein beliebigen Vektor genommen und ein Skalarprodukt gemacht, was 0 sein muss. - 1*1+1*0+1*-1=0 =(1, 0,-1) - > dann normiert. =$\frac{1}{\sqrt{2}}$(1,0,-1)

Für w3 dann das Kreuzprodukt bzw. Vektor Produkt gebildet. =$\frac{1}{\sqrt{2}}$(-1,0,-1)

Hoffe, dass ist richtig. Damit muss weitergerechnet werden.

Zur b)

Habe gerade im Lehrbuch gelesen das folgendes gilt: WidE=W^-1 und EidW=W

Also W=

-1	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{-1}{\sqrt{2}}$
1	0	0
1	$\frac{-1}{\sqrt{2}}$	$\frac{-1}{\sqrt{2}}$

Und W^-1 =

0	1	0
$\frac{\sqrt{2}}{2}$	\sqrt{2}	$\frac{-\sqrt{2}}{2}$
$\frac{-\sqrt{2}}{2}$	0	$\frac{-\sqrt{2}}{2}$

Nochmal die Frage; Stimmt das?

Jetzt die eigentliche Frage

Zur c)

Wie geht das?

Comments

Was ist L?

v (1,0,-1) = -2 und nicht 0

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Danken für den Hinweis.

W2 muss (-1,0,-1) sein, somit w3 $\frac{1}{\sqrt{2}}$(-1,-2,1), wenn ich mich nicht irre.

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WidE damit

$\frac{\sqrt{2}-4}{7}$	$\frac{2\sqrt{2}-1} {7}$	$\frac{-\sqrt{2}+4}{7}$
$\frac{-\sqrt{2}}{2}$	0	$\frac{-\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{2}-4}{14}$	$\frac{\sqrt{2}-4}{7}$	$\frac{-\sqrt{2}+4}{14}$

, wenn ich mich nicht irre. Sieht aber komisch aus.