Quadratische Gleichung durch Anwendung der pq Formel nach x auflösen. x2-12x+64=0

Question

Aufgabe:  Löse die Gleichung durch Anwendung der pq-Formel nach x auf. Gib jeweils p und q an.

                 x²-12x+64=0

Problem/Ansatz: Ich verstehe das Thema eigentlich, aber bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter :(

                           Kann mir jemand bitte den kompletten Rechenweg aufschreiben, damit ich die einzelnen Schritte                                                nachvollziehen kann

Ich bedanke mich im voraus

Answer 1

x² - 12·x + 64 = 0

p = -12
q = 64

x = - p/2 ± √((p/2)² - q)
x = 6 ± √(6² - 64)

Du siehst jetzt das der Term unter der Wurzel negativ ist

6² - 64 = 36 - 64 < 0

Daher gibt es keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen.

Answer 2

Achtung: Es gibt quadratische Gleichungen mit genau zwei, genau einer oder keiner reellen Lösung.

Wie lautet denn die pq-Formel?

x²-12x+64=0

Was ist p und was ist q in dieser quadratischen Gleichung?

Wo genau bleibst du stecken?

Comments

Kennst du allenfalls schon komplexe Zahlen?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2-12x%2B64%3D0

Text erkannt:

Complex solutions:
$$\begin{array}{l} x=6-2 i \sqrt{7} \\ x=6+2 i \sqrt{7} \end{array}$$

Wenn nicht, siehst du einfach, dass du unter der Wurzel eine negative Zahl hast und bist fertig. Denn: die angegebene Gleichung hat keine reelle Lösung.

Also: L = { }    (leere Menge)

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Ich stelle Ihnen hier einen Beispiel wie wir solche Aufgaben lösen.

Beispiel:    x²+8x+15=0                 p=8  q=16

(=) [(x²+2*8/2x+(8/2)²]-8/2²+15=0

(=) (x+8/2)²-8/2²+15=0   |+8/2²-15

(=) (x+8/2)²=8/2²-15    |√

(=) x+8/2=+-√(8/2²-15)   |-8/2

(=) x=-8/2+-√(8/2²-15)

(=) x=-3   v   x=-5

L={-5;-3}

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Hallo Maya,

das ist das Verfahren mit quadratischer Ergänzung. Gefordert ist doch aber die pq-Formel.

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Hallo MontyPython,

es wäre echt lieb wenn du mir ein Beispiel schicken würdest.

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Hallo Maya,

ich habe meine Antwort ergänzt.   :-)

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@Maya: Ich habe bei deiner Rechnung (quadratische Ergänzung) noch die Klammern um die Radikanden ergänzt, damit man weiss, was alles unter der Wurzel steht.

x² -12x +64=0    , p = -12, q = 64

x² - 2 * 12/2 x + 64 = 0

x² - 2 * 6 x + 64 = 0

x² - 2 * 6 x + 6² - 6² + 64  = 0

(x - 6)² - 6² + 64 = 0

(x - 6)² = 36 - 64

(x - 6)² = -28     

Keine reelle Lösung. Quadrate von reellen Zahlen sind nie negativ (fertig!)

Wenn du nun einmal sehen möchstest, woher die komplexen Lösungen kommen. Man verwendet hier eine neue Grösse (die imaginäre Einheit), für die gilt i² = (-1) :

(x-6)² = 4 * (-7)

(x-6)² = (-1) 2²  * 7             | Wurzel ziehen

x - 6 = ±i * 2 * √(7)

x_(1,2) = 6 ± i * 2 * √(7) 

Das aber erst, wenn ihr komplexe Zahlen kennt und verwendet.

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Danke an alle

Answer 3

Soll es vielleicht -64 heißen?

Dann gibt es zwei reelle Lösungen, nämlich 16 und -4.

Ich rechne das mal mit -64 vor:

$$x^2-12x-64=0~~~;~~~p=-4~~~;~~~q=64$$

$$[x^2-2\cdot 6x+6^2]-6^2-64=0$$

$$x^2-2\cdot 6x+6^2=6^2+64$$

$$(x-6)^2=36+64$$

Wenn es $36-64$ heißt, kann es keine reelle Lösung geben, da $\sqrt{-28}$ Probleme bereitet.

Weiter mit $36+64$:

$$(x-6)^2=100$$

$$x-6=\pm\sqrt{100}$$

$$x=6\pm10$$

$$x_1=6-10=-4~~~;~~~x_2=6+10=16$$

$$\mathbb L=\{-4; 16\}$$

Comments

Auf dem AB steht 64. Aber trotzdem danke für ihre Hilfe

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Mit +64 gibt es keine reelle Lösung, mit -64 schon.

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Dankeschön  :-)