Aloha :)$$f(x,y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{xy}{2x^2+y^2} &\text{für}&(x,y)\ne(0,0)\\0 & \text{für}&(x,y)=(0,0)\end{array}\right.$$Wenn \(f\) im Punkt \((0|0)\) stetig ist, muss der Grenzwert für alle möglichen Wege existieren, auf denen wir zum Punkt \((0|0)\) gehen können, insbesondere für alle Ursprungsgeraden \(\binom{x}{y}=\binom{x}{c\cdot x}\) mit \(c\in\mathbb R\).$$f(x,cx)=\frac{x\cdot cx}{2x^2+(cx)^2}=\frac{cx^2}{x^2(2+c^2)}=\frac{c}{2+c^2}$$Der Grenzwert von \(f(x,cx)\) für \(x\to0\) müsste für alle \(c\in\mathbb R\) derselbe sein. Das ist offensichtlich nicht der Fall. Daher ist die Funktion \(f(x,y)\) nicht stetig in \((0|0)\).
Im 1-dimensionalen Raum wären wir jetzt fertig, weil dort die Stetigkeit einer Funktion eine Voraussetzung für die Differenzierbarkeit ist. In einem mehrdimensionalen Raum ist das leider nicht so, daher müssen wir die partielle Differenzierbarkeit prüfen.
$$f(x,0)=\frac{0}{2x^2}=0\quad\text{für }x\ne0\quad;\quad f(0,y)=\frac{0}{y^2}=0\quad\text{für }y\ne0$$Wegen \(f(0|0)=(0,0)\) ist gesichert, dass \(f(x,0)\) und \(f(0,y)\) für alle \(x\in\mathbb R\) bzw. \(y\in\mathbb R\) exisiteren. Hält man also \(x\) bzw. \(y\) bei der Ableitung fest, existieren die Ableitungen. Die Funktion ist also partiell differenzierbar in beiden Variablen \(x\) und \(y\).
