Grenzwert berechnen unendlich

Question

Aufgabe:

Berechne den lim +unendlich

Problem:

Ich verstehe nicht wie ich bei den Aufgaben den lim plus unendlich berechnen soll.

Aufgabe:

e) \( a_{n}=\frac{(n-5)^{2}-\sqrt{n+1}}{n^{2}+1}= \)

f) \( a_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-3} \)

g) an=\( \sqrt[n+1]{n+5} \)

h) an = \( \sqrt[n-2]{(n+1)^2} \)

Answer 1

((n - 5)^2 - √(n + 1)) / (n^2 + 1)

= ((n·(1 - 5/n))^2 - √(n^4·(1/n^2 + 1/n^4))) / (n^2·(1 + 1/n^2))

= (n^2·(1 - 5/n)^2 - n^2·√(1/n^2 + 1/n^4)) / (n^2·(1 + 1/n^2))

= ((1 - 5/n)^2 - √(1/n^2 + 1/n^4)) / (1 + 1/n^2)

lim n --> ∞

= ((1 - 0)^2 - √(0 + 0)) / (1 + 0) = 1

Comments

√(n^2 + 1) - √(n^2 - 3)

= (√(n^2 + 1) - √(n^2 - 3))*(√(n^2 + 1) + √(n^2 - 3)) / (√(n^2 + 1) + √(n^2 - 3))

= ((n^2 + 1) - (n^2 - 3)) / (√(n^2 + 1) + √(n^2 - 3))

= (n^2 + 1 - n^2 - 3) / (√(n^2 + 1) + √(n^2 - 3))

= (- 2) / (√(n^2 + 1) + √(n^2 - 3))

lim n --> ∞

= 0

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Wenn ich unter der Wurzel n^4 ausklammer, komm da dann nicht 1/n^3?

Answer 2

f) Erweitere mit : √(n^2+1) +√(n^2-3) , dann n ausklammern und mit n kürzen

g) Verwende : n^(1/n)  =1 für n gg. oo

h) = (n+1)^(2/(n-2)) 

vgl. mit g)

Comments

Ich verstehe es nicht wirklich... könntest du es etwas genauer erklären ?