Reihenkonvergenz mit Mittelwertsatz

Question

Aufgabe:

Mit Hilfe des Mittelwertsatzes soll ich zeigen, dass

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{a+1}-\sqrt[n]{a})^2$$

für jedes a>0 und a aus den reellen Zahlen konvergiert.

Problem/Ansatz:

Der Mittelwertsatz sagt mir, dass es im Intervall (a,b) ein x₀ gibt, an dem die Tangente an dem Graphen die gleiche Steigung hat, wie die Sekante durch die Intervallgrenzen.

Leider sehe ich den Zusammenhang zwischen der Differenzierbarkeit und der Reihenkonvergenz nicht.

Comments

ⁿ√(a+1) - ⁿ√a =  ( ⁿ√(a+1) - ⁿ√a ) / ( (a+1) - a )

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Danke für die Hilfe!

Nun habe ich folgenden Ansatz:
Ich habe mir nun eine Funktion f definiert mit

x geht auf $$\sqrt[n]{x}$$

Nun weiß ich nach dem Mittelwertsatz, dass dann mein Ausdruck $$\sqrt[n]{a+1}-\sqrt[n]{a}$$ gleich der Ableitung an meinem x₀ entspricht.

Diese wäre gegeben durch $$\frac{1}{n}x^{(1-n)/n}$$

Kann ich den Ausdruck in der Summe dann ersetzen und so zeigen, dass die Reihe konvergiert?

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^{Genau das solltest du tun.}

Answer 1

Wurde hier schon beantwortet:https://www.mathelounge.de/743917/zeigen-hilfe-mittelwertsatzes-dass-reihe-limits-infty-sqrt#a744211