Naja es geht ja um die Vektoren v= (x,y,z) die unter der Vorschrift f(v)= x+y =0 liefern. Wenn man den Vektor (0,0,n) mit n∈ ℝ nimmt kommt 0 raus weil die z Komponente ja einfach wegfällt. Der Vektor (n,-n,0) liefert auch null, da n-n = 0 (n∈ℝ). Jetzt wählt man jeweils einen Basisvektor aus diesen Mengen (ich habe jetzt (0,0,1) und (1,-1,0) gewählt. Wichtig ist hier, dass die beiden Vektoren linear unabhängig sind (sind sie).
Jetzt überlegt man sich noch ob es einen weiteren Basisvektor geben kann. Das könnte man jetzt bestimmt kompliziert ausrechnen aber das muss man hier nicht, wenn man bisschen über die Dimensionen der Räume R^3 und Kern(f) nachdenkt und bedenkt das der Vektor (1,1,0) unter der vorschrift f nicht 0 liefert.
LG
