Wie berechnet man aus zwei identischen Eigenwerten, zwei unterschiedliche Eigenvektoren (3x3)?

Question

\( \begin{pmatrix} 4 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix} \)

Das char. Polynom und die Eigenwerte habe ich bereits berechnet:

-x^3 + 13x^2 - 55x + 75 mit den Eigenwerten {3;5;5}

Die Matrix weißt zwei identische Eigenwerte auf, drum die Frage, ob diese diagonalisierbar ist und
wie man unterschiedliche Eigenvektoren zu identischen Eigenwerten findet.

Comments

hier stand etwas falsches

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wie kommt man auf die geometrische und alg. Vielfachheit?

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Wenn der Kern trivial ist, wird es sich wohl (offensichtlich) um keinen Eigenwert handeln.

Wahrscheinlich hast du vergessen, die 5 einzubauen.

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Ja, das habe ich vergessen. LG

Answer 1

Man betrachte die Gleichungen für die EW

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&3&\left(\begin{array}{rrr}1&-1&0\\-1&1&0\\2&2&2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&5&\left(\begin{array}{rrr}-1&-1&0\\-1&-1&0\\2&2&0\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

===>

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rr}x1 - x2&-x1 - x2\\-x1 + x2&-x1 - x2\\2 \; x1 + 2 \; x2 + 2 \; x3&2 \; x1 + 2 \; x2\\\end{array}\right) = 0, \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} \; x3&-x2\\-\frac{1}{2} \; x3&x2\\x3&x3\\\end{array}\right) \right\} \)

Für λ=3 haben wir x3 beliebig - DimEigenraum=1

===> x3=2 ===> EV1=(-1,-1,2)^T

Für λ=5 haben wir x3, x2 beliebig - Dim EIgenraum=2

===> x3=0 ∧ x2=1  ===> EV2=(-1,1,0)^T

===> x3=1 ∧ x2=0 ===> EV3=(0,0,1)^T

^{===> alg Vielfachheit = geom Vielfachheit ===> diagonalisierbar ===> T={EV1,EV2,EV3}}

^{\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-1&-1&0\\-1&1&0\\2&0&1\\\end{array}\right)\)}

^{\(\small D \, :=  \, T^{-1} \; A \; T =  \, \left(\begin{array}{rrr}3&0&0\\0&5&0\\0&0&5\\\end{array}\right)\)}

Comments

Hallo,

" der zugehörige Eigenraum hat nur die Dimension 0" von racine_carrée

Das ist Unsinn. Ein Eigenraum hat nach Definition mindestens die Dimension 1.

Gruß

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Ich habe das nicht explizit nachgerechnet, sondern WolframAlpha vertraut. Seltsam:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=kernel+%7B%7B4%2C-1%2C0%7D%2C%7B-1%2C4%2C0%7D%2C%7B2%2C2%2C5%7D%7D

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Ach, ich bin blöd. Ich habe vergessen den Eigenwert bei den Hauptdiagonalelementen abzuziehen :P

Answer 2

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus Eigenvektoren gibt. Untersuche also zu jedem Eigenwert die Dimension des zugehörigen Eigenraums (der von den Eigenvektoren aufgespannt wird). Ansatz also für jeden Eigenwert \(Ker(A-t\cdot I_3)\) berechnen.

Comments

wie untersuche ich die Dimensionen, wenn zu lambda 5 die gleichen Eigenvektoren rauskommen, und damit die Dimensionen auch gleich sein müssten

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Ob nun Eigenwerte einer Matrix alle unterschiedlich sind, sagt noch nichts im Allgemeinen über die Diagonalisierbarkeit aus. Die sagen dir erstmal nur, ob die notwendige Bedingung, dass dein charakteristisches Polynom über dem vorliegendem Körper auch in Linearfaktoren zerfällt, überhaupt erfüllt ist. Ist dem so, dann ist eine Diagonalisierung zwar möglich, aber noch nicht hinreichend bestätigt. Es kann also passieren, dass du zu einem Eigenwert mehr als einen Eigenvektor findest. Am Ende ist also wichtig, wie viele man finden konnte, bzw. ob die vorliegenden Eigenvektoren ausreichen eine Basis (hier vom \(\mathbb{R}^3\)) zu bilden.