Direkte Summe bestimmen für R^3

Question

Ich habe folgende Matrix B gegeben:

$$B=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right)$$

und die Eigenwerte $$\lambda_{1}=3 \text { und } \lambda_{2}=-3$$

$$\text{Für } \lambda_{1}=3 \text{ lautet der Eigenraum:} \left\{\begin{array}{l} x_{3} \times\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \\ \end{array}\right\}$$

$$\text{Für } \lambda_{2}=-3 \text{ lautet der Eigenraum:} \left\{\begin{array}{l} x_{2} \times\left(\begin{array}{c} \frac{-1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+x_{3} \times\left(\begin{array}{l} \frac{-1}{2} \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}\right) \\ \end{array}\right\}$$ Die Frage lautet nun: $$\text{Wie kann ich heraus finden, ob der } \mathbb{R}^{3} \text{ eine direkte Summe der Eigenräume der Matrix } B \text{ ist?}$$

Ich weiß, dass 0 herauskommen muss, damit etwas eine direkte Summe ist. Aber dazu brauche ich glaube noch den Schnitt der Beiden. Wie bekomme ich den?

Comments

Definiere " direkte Summe der Eigenräume"

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Das steht so in meiner Aufgabe :D

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@wächter

\(\text{Eig}_B(3)+ \text{Eig}_B(-3)\) heißt direkt, geschrieben \(\text{Eig}_B(3)\oplus \text{Eig}_B(-3)\), wenn \(\text{Eig}_B(3)\cap \text{Eig}_B(-3)=\{0\}\).

Answer 1

Hallo,

eine Basis für den Eigenraum \(\text{Eig}_B(3)\) ist \(\mathcal{A}=\left \{\begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix}\right \}\). Eine Basis für \(\text{Eig}_B(-3)\) ist  \(\mathcal{B}=\left \{\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\0\\1 \end{pmatrix}\right \}\). Sind die drei Vektoren linear unabhängig, dann ist ihre Summe direkt. Das sind sie, da \(\det(a_1,b_1,b_2)=3\neq 0\).

Du kannst dir unter den beiden Eigenräumen aus deiner Schulzeit vielleicht etwas vorstellen. \(\text{Eig}_B(3)\) ist die Parameterdarstellung einer Geraden. \(\text{Eig}_B(-3)\) ist die Parameterdarstellung einer Ebene.

Hinweis von MatHaeMatician:

Für zwei verschiedene Eigenwerte \( \lambda_{1}, \lambda_{2} \) gilt immer
\( \operatorname{Eig}\left(\lambda_{1}\right) \cap \operatorname{Eig}\left(\lambda_{2}\right)=\{0\} \)
Der Beweis dieser Aussage ist ein Ein-Zeiler und wird meistens ganz allgemein direkt nach der Definition der Eigenrãume vorgestellt.
Ist \( v \in \operatorname{Eig}\left(\lambda_{1}\right) \cap \operatorname{Eig}\left(\lambda_{2}\right) \) dann gilt
\( \lambda_{1} v=\varphi(v)=\lambda_{2} v \Longrightarrow\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) v=0 \stackrel{\lambda_{1}-\lambda_{2} \neq 0}{\Longrightarrow} v=0 \)
Mit Determinanten und irgendwelchen Gleichungssystem sollte man hier gar nicht argumentieren.

Comments

PS: Kennst du dich mit analytischer Geometrie aus, untersuchst du die Lagebeziehung einer Gerade zu einer Ebene.

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Okay. Bedeutet ich würde jetzt mit den drei Vektoren ein lineares Gleichungssystem machen und wenn ich am Ende keine Nullzeile habe, dann weiß ich, dass die Vektoren linear unabhängig sind und daraus folgt dann, dass es eine direkte Summe ist.

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Ja, alternativ kannst du auch elegant mit der Determinante argumentieren. Mach es aber lieber so, wie du es am besten kannst.

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PSS:

Du kannst dir mal überlegen, warum hier die Lineare Unabhängigkeit reicht, um zu zeigen, dass der Schnitt der beiden Eigenräume trivial ist.

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Okay. Ich hab erst gedacht ich muss nach der Dimensionsformel gehen, welche es auch für Untervektorräume gibt und welche für direkte Summen gilt.

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Wie meinst du mit der Dimensionsformel? Du könntest als Kriterium nutzen, dass genau dann, wenn zwei Untervektorräume \(U,W\) direkt sind, \(\dim (U+W) = \dim U +\dim W\) gilt.

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zu deiner PSS.: Ja das bin ich gerade dabei herauszufinden. Liegt es daran, dass Basisvektoren prinzipiell linear unabhängig sind und es deswegen reicht? Trivial bedeutet der Schnitt ist null?

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Ja genau die Dimensionsformel meinte ich :)

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Genau, "ein trivialer Schnitt" ist ein Schnitt, der nur Null enthält. Du siehst ja schon auf dem Bild, dass die Gerade die Ebene nur in 0 schneidet. Was problematisch wäre, wäre der Fall, dass die Gerade innerhalb der Ebene verläuft. Dann wäre aber der Richtungsvektor der Gerade eine Linearkombination der Spannvektoren der Ebene. Kennst du dich mit der analytischen Geometrie aus, ansonsten gehen die Erklärungen nämlich ins Leere.

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Nein. Alles gut. Ich habe deine Erklärungen verstanden. ! :)

Ich hab nur noch eine Anmerkung: Du hast geschrieben, dass du als Determinante 4 raus hast. Ich habe 3 raus.

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$$\left|\begin{array}{ccc} 2 & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right|=2*1*1+\frac{-1}{2} *0*1+\frac{-1}{2} *1*0-1*1* \times\left(\frac{-1}{2}\right)-0*0*2-1*1 *\times\left(\frac{-1}{2}\right)=3$$

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Ja, hast recht ist 3.

Kleiner Zusatz:

Du siehst auch sofort, dass die Gerade und die Ebene durch den Nullpunkt gehen. In der Schule hätte man die Gerade ja geschrieben als: $$g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix}$$ und die Ebene als $$E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\1\\0 \end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\0\\1 \end{pmatrix}$$ Setzt du für \(t=r=k=0\) ein, sieht man sofort, dass sowohl die Ebene als auch die Gerade durch den Nullpunkt gehen.

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Allgemein: Wenn du irgendwann mal Eigenräume hast, die du nicht geometrisch interpretieren kannst, musst du zeigen, dass der Schnitt trivial ist.

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Und wie zeigt man das am Besten? Also wenn ich es mir so "aufzeichnen" kann wie du jetzt, dann ist es offensichtlich.

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Sagen wir mal, wir haben als Basen zweier verschiedener Untervektorräume:

B=((0,1,2,3),(4,1,2,3)) und A=((-1,2,3,1),(-4,6,1,2))

Die Anschauung in im vierdimensionalen Raum ist ja nicht mehr gegeben. Wollen wir zeigen, dass A∩B={0}, dann:

Für v=λ_{1}·b_{1}+λ_{2}·b_{2} gilt v∈A∩B genau dann, wenn es μ_{1}, μ_{2} gibt, so dass:

λ_{1}·b_{1}+λ_{2}·b_{2}=μ_{1}·a_{1}+μ_{2}·a_{2}

Das ist einfach ein LGS, z.z. ist, dass nur λ_{1}=λ_{2}=μ_{1}=μ_{2}=0 eine Lösung ist

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@mathflower

ich habe auch noch eine persönliche Frage an dich: Woher nimmst du eigentlich die ganzen Übungsaufgaben her (Lehrbuch?) Du stellst echt clevere, gute Fragen.

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Für zwei verschiedene Eigenwerte \( \lambda_1, \lambda_2 \) gilt immer

$$ \operatorname{Eig}(\lambda_1) \cap \operatorname{Eig}(\lambda_2) = \{0\} $$

Der Beweis dieser Aussage ist ein Ein-Zeiler und wird meistens ganz allgemein direkt nach der Definition der Eigenräume vorgestellt:

Ist \( v \in \operatorname{Eig}(\lambda_1) \cap \operatorname{Eig}(\lambda_2) \) dann gilt $$ \lambda_1 v = \varphi(v) = \lambda_2 v \implies (\lambda_1 - \lambda_2) v = 0 \stackrel{\lambda_1 - \lambda_2 \neq0}{\implies} v = 0 $$

Mit Determinanten und irgendwelchen Gleichungssystem sollte man hier gar nicht argumentieren.

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Cool!       . Darf ich das nach oben in meien Antwort packen, dann sehen das diejenigen, die irgendwann auf die Frage kommen, schneller

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Ja klar :)                   .

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:) Hat sehr viel geholfen.

Mal eine allgemeine Frage: Wie kann man denn hier einer Antwort einen "Daumen hoch" geben? :D

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@MatHaeMatician woher weiß ich denn, ob dies hier vorliegt: $$v \in \operatorname{Eig}\left(\lambda_{1}\right) \cap \operatorname{Eig}\left(\lambda_{2}\right)$$

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Man möchte zeigen, dass $$ \operatorname{Eig}\left(\lambda_{1}\right) \cap \operatorname{Eig}\left(\lambda_{2}\right) =\{0\} $$

Die Inklusion \( \operatorname{Eig}\left(\lambda_{1}\right) \cap \operatorname{Eig}\left(\lambda_{2}\right) \supseteq \{0\} \) ist klar, da jeder UVR den Nullvektor enthält.

Also muss noch die Inklusion \( \operatorname{Eig}\left(\lambda_{1}\right) \cap \operatorname{Eig}\left(\lambda_{2}\right) \subseteq \{0\} \) gezeigt werden, dazu wählt man sich einen Vektor \(v\) aus dem Schnitt und zeigt dass er in \(\{0\}\) liegt, also dass \( v=0\).