Reihe zu ln-Funktion bilden

Question

Aufgabe:

Ich will zu der Funktion f(x)=ln(1+x) eine Reihe mithilfe der Taylorreihe aufstellen. Entwicklungspunkt =0

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher, ob meine Lösung richtig ist und würde mich über Feedback freuen.

-erstmal viele Ableitungen gebildet

--> die allg. Ableitung in x=0 ist f^(n) (0)= (n-1)! * (-1)^(n+1)

Damit ist die Taylorreihe: Tf (x) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n} \) \( \frac{(n-1)! * (-1)^(n+1)}{n!} \) *x^n

Comments

Hallo,

sieht gut aus. Es gibt noch eine einfache Möglichkeit, das zu checken: Es ist \(f'(x)=\frac{1}{1+x}\). Für letzteres kannst Du die geometrische Reihe aufstellen und mit Deinem ERgebnis vergleichen.

Gruß

Answer 1

f^(n) (0)= (n-1)! * (-1)^(n+1) ist OK

Was soll der Faktor n ?

T_f (x) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}  \frac{(n-1)! * (-1)^{n+1}}{n!} \) *x^n

= \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^{n+1}}{n} \) *x^n

Answer 2

Aloha :)

Die Summenformel für die geometrische Reihe mit \(|q|<1\) lautet:$$\sum\limits_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}$$Solange wir innerhalb des Konvergenzradius der Reihe bleiben, können wir integrieren:$$\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{q^{k+1}}{k+1}=-\ln(1-q)$$Mit \(q=-x\) und das Minuszeichen auf die andere Seite gebracht heißt das:$$\ln(1+x)=-\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-x)^{k+1}}{k+1}=-\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-x)^{k}}{k}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\pm\cdots$$