Steigende und fallende Faktorielle

Question

Aufgabe:

„Ableitung" und Stammfunktion von \( x^{\bar{n}}, x^{\underline{n}} \) für \( n \in \mathbb{Z} \)

Ansatz/Problem:

Die Ableitung habe ich nach langer Zeit so einigermaßen hinbekommen. Für die Stammfunktion habe ich nach ca. eine Woche Knobelei keine Ahnung.

Comments

was bedeutet n quer? was ist deine Ableitung?

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x^{n quer} bedeutet steigende Faktorielle also: x(x+1)(x+2)....(x+n-1)

Analog für die andere Funktion ist die fallende Faktorielle: x(x-1)(x-2)....(x-n+1)

Meine Ableitung ist für x^{n quer} =  x^{n quer} * \( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{1/x-i} \) wobei ich f(x) = x^{n quer} definiert habe und g(x) := ln f(x) gewählt habe.

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Die Integration könntest du per Rekursion durchführen.

Integriere

x^{n+1 quer}=x^{n quer} *(x+n)

partiell.

Answer 1

Nur eine Anregung.

xn quer bedeutet steigende Faktorielle also: x(x+1)(x+2)....(x+n-1)

Du kannst das Produkt bilden und dann bekommst du ein Polynom, das kann man bekanntlich gut integrieren.

Die Koeffizienten dieses Polynoms sind schon mal berechnet worden, oder kannst du dir berechnen.

Es sind die Stirling-Zahlen 1. Art siehe auch

https://www.mathelounge.de/748823/ich-suche-eine-explizite-darstellung-einer-folge