Verhalten der Funktionswerte

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f für x gegen unendlich oder minus unendlich.

Problem/Ansatz:

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir das jemand nochmal anhand der nachfolgenden Funktionen erklären könnte.

f(x) = 0,5x^2 - 0,5x^4

f(x) = 5-7x^2 + 2x^3

f(x) =10^10 * x^6 - 7x^7 + 25 x

f(x) = x^10 - 2^25 * x^9

Vielen Dank!

Answer 1

f(x) = 0,5x^2 - 0,5x^4 = x^2 * ( 0,5-0,5x^2)

für x gegen ∞ wird der erste Faktor sehr groß und der

zweite hat auch einen großen Betrag, ist aber negativ,

also Grenzwert -∞

Für x gegen -∞ ist es genauso, da bei x^2 das Minuszeichen

keine Rolle spielt.

f(x) = 5-7x^2 + 2x^3 = x^3*(   5/x^3 -7/x + 2).

für x gegen ∞ wird der erste Faktor sehr groß und der

zweite hat einen Wert von ungefähr 2, also Grenzwert +∞

für x gegen -∞ wird hat der erste Faktor einen sehr großen Betrag

ist aber negativ und der zweite hat einen Wert von ungefähr 2, also

Grenzwert - ∞

Versuche mal bei den anderen auch immer

die x-Potenz mit dem größten Exponenten auszuklammern.

Comments

Warum denn +∞ bei der ersten Aufgabe? Außerdem hast du falsch ausgeklammert.

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Danke, hab's korrigiert.

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Die Ausklammeritis ist gar nicht nötig und auch nicht erkenntnisfördernd. Die Schüler wissen oder sollen herausfinden, dass das Globalverhalten ganzrationaler Funktionen in Polynomdarstellung allein von dem Summanden mit dem größten Exponenten auf der Funktionsvariablen, also dem \(a_nx^n\), bestimmt wird.

Will man das begründen, indem man ausklammert, dann klammert man natürlich zweckmäßigerweise gleich \(a_nx^n\) aus. Das macht man einmal und weiß dann in allen anderen Fällen auch ohne Ausklammern, was rauskommt.

Answer 2

Hallo,

\(f(x)=ax^n\)

Es wird immer die höchste Potenz der Funktion betrachtet.

1. n ist ungerade und a ist positiv:

\( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty \)

2. n ist ungerade und a ist negativ:

\( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty \)

3. n ist gerade und a ist positiv:

\( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty \)

4. n ist gerade und a ist negativ:

\( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty \)

Gruß, Silvia

Comments

Das gilt nur für ganzrationale Funktion mit einem Grad von \(n \ge 1\).

Answer 3

f(x) = x^10 - 2.25 * x^9
f ( x ) = x^9 * ( x -2.25 )
lim x -> -∞ [ x^9 * ( x -2.25 ) ]
.2.25 spielt keine Rolle mehr und kann entfallen
lim x -> -∞ [ x^9 * x ]  = x^10 ist positiv unendlich
lim x -> +∞ [ x^9 * x ]  = x^10 ist positiv unendlich