Wie finde ich eine Hesse-Normal-Form für die Ebene?

Question

Finde eine Hesse-Normal-Form für $$E:=\{  \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda  \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} +  \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \lambda,\mu \in \mathbb{R}\} $$

Also, der Normalenvektor ist das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren $$n=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Also ist die Koordinatenform $$KF = \{ x\in \mathbb{R}^3: x_1+x_3 = 2 \} $$ Was ist genau gemeint mit: "Finde eine HNF" bezüglich dieser Aufgabe? Ich bin mir gerade nicht sicher wie die Lösung ausschauen soll. Wäre folgendes die Lösung? HNF = \( \frac{x_1+x_3-2}{\sqrt{2}} \)

Answer 1

Hallo,

bei der hesseschen Normalform wird die Ebene durch einen normierten und orientierten Normalenvektor \(\vec{n}\) und über den Abstand vom Koordinantenursprung \(d\) beschrieben.

Der Normalenvektor muss die Länge eins haben und vom Koordinatenursprung in Richtung der Ebene zeigen, d. h. \(\vec{x}\cdot \vec{n}\geq 0\).

Du hast also \(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}\cdot \left [\vec{x}-\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}\right]=0\)

Comments

danke für die Antwort, aber könntest du die HNF für die Ebene aufschreiben. Ich müsste die HNF sehen, damit ich es komplett verstehe.

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Deine HNF wäre \(\frac{x_1+x_3}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}\)

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Ich verstehe nicht, warum \( \frac{2}{\sqrt{2}} \) da steht. Müsste der linke Ausdruck nicht gleich Null sein?

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Kannst du sagen, warum du eine Gleichung nicht durch ne Zahl dividieren kannst? aber carree hats für dich gemacht.

und x=2 und x-2=0 ist doch dasselbe?

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Das ist reine Definitionsangelegenheit. Die beiden Ausdrücke sind gleichwertig. Wikipedia definiert die Hesse-Normalform über \(\vec{x}\cdot \vec{n_0}=d\).

Answer 2

Hallo

die Hesse Normalform hat den Einheitsnormalenvektor also musst du deine Gleichung noch durch den Betrag deine Normalenvektors  also durch √2 dividieren. dann gibt die rechte Seite den Abstand der Ebene zum0 Punkt.

Gruß lul

Comments

Also HNF: \( \frac{x_1+x_3-2}{\sqrt{2}} = 0 \)?

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Ja, das stimmt.

Answer 3

Die Normalform einer Ebene mit Stützvektor A und Normalenvektor N lautet

E: (X - A) * N = 0

Bei der hesseschen Normalform hat der Normalenvektor nur die Länge 1 also

E: (X - A) * N/|N| = 0

Damit ist das bei dir

E: (X - [1, 1, 1]) * [1, 0, 1]/√(1^2 + 0^2 + 1^2) = 0

E: (X - [1, 1, 1]) * [1, 0, 1]/√2 = 0

Wenn du das ausmultiplizierst hättest du sowas wie die hessesche Koordinatenform.

Comments

Du hast recht, ganz streng genommen wäre nur \(\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\cdot \vec{x}=\frac{2}{\sqrt{2}}\) die HNF.

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Die hessesche Normalform kann die beiden Formen

X * N0 = d

oder

(X - A) * N0 = 0 mit N0 = N/|N| als normierten Normalenvektor

haben.

im ersten Fall ist das d der gerichtete Abstand vom Ursprung. Um zweiten Fall ist A der Stützvektor. Ich bevorzuge allerdings eigentlich immer die zweite Version. Es sei den es geht wirklich um die Abstände.

Und den Normalenvektor lässt man hier als Vektor stehen.

Answer 4

Du musst nur noch =0 ganz am Ende ergänzen.

:-)