ganzrationale Funktion aus einer Abbildung bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimme eine mögliche Funktionsgleichung zu dem in Abb. 1 dargestellten Graphen.

Problem/Ansatz:

Grad:3

Wendestelle (2/-2)

Y-Achsenabschnitt bei (0/0)

Nullstellen (-1/0),(0/0),(1/0)

Ist die allgemeine Funktion ax^3+bx^2+cx+d?

Und wie genau komme ich jetzt weiter?

Comments

Handelt es sich tatsächlich um eine Funktion dritten Grades?

Answer 1

f(x)=a*x*(x-1)*(x+1)

f(x)=a*x^3-a*x

f'(x)=3ax^2-a

f''(x)=6ax

Wendestelle bei x=0

(2|-2) kann kein Wendepunkt sein.

(2|-2) Kurvenpunkt:

f(2)=a*2^3-a*2=6a=-2

a=-1/3

f(x)=-1/3*x^3+1/3*x

Answer 2

Aloha :)

Da ein Polynom 3-ten Grades maximal 3 Nullstellen hat und du hier alle 3 Nullstellen kennst, kannst du damit den Ansatz stark vereinfachen:$$f(x)=a\cdot x\cdot(x-1)\cdot(x+1)$$Den Skalierungsfaktor \(a\) berechnen wir mit dem Punkt \((2|-2)\):$$-2=f(2)=a\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot(-1)=-6a\quad\Rightarrow\quad a=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$$Damit sind wir fertig:$$f(x)=-\frac{1}{3}\cdot x\cdot(x-1)\cdot(x+1)$$Das Ergebnis kannst du auch noch zusammenfassen:$$f(x)=-\frac{1}{3}\cdot x\cdot(x^2-1)=-\frac{1}{3}(x^3-x)$$

ABER: Diese Funktion hat bei \((2|-2)\) keinen Wendepunkt, wie der Graph zeigt. Die Kurve läuft in einer gut sichtbaren Rechtskrümmung durch den Punkt \((2|-2)\). Stattdessen liegt der Wendepunkt liegt bei \((0|0)\). Daher ist entweder ein Fehler in der Aufgabenstellung oder du hast dich beim Eintippen der Aufgabe verfummelt.

~plot~ -1/3*(x^3-x) ; {2|-2} ; [[-3|3|-5|5]] ~plot~