Beweis Eulers Primzahlformel n^2 + n + 41

Question

Aufgabe:

Hallo, unzwar verstehe ich einen Beweis aus Forsters Analysis 1 nicht.

Man beweise für jede natürliche Zahl n hat die Zahl $$P(n)=n^2 + n + 42$$ keinen Primfaktor <= 11.

Problem/Ansatz:

Im Buch steht die Aufgabe ungefähr so vorgerechnet..

I.A. Es gibt keinen Primfaktor <= 10.

I.S.

$$0 \lt n-q \lt n: P(n) - P(n-p)= p \cdot(2n-p+1) $$

P(n-p) ist nicht durch p teilbar => $$P(n-p) = mp + r$$

$$P(n) = P(n)-P(n-p)+P(n-p) = (m+3n-p+1)p + r$$ ist auch nicht durch p teilbar.

Ich verstehe nicht ganz, wie man da von 10 auf 11 kommt. Man geht ja davon aus, dass man für P(0) bis P(10) eine Primzahl herausbekommt. Wie kann man mit der Rechnung dann auf 11 schließen?

Rein theoretisch kann ich ja auch behaupten, dass ich für n<= 40 immer eine Primzahl herausbekomme und so auf 41 schließen, was ja offensichtlich falsch ist. $$P(x) = 41^2 + 41 + 41$$

Ich danke schonmal für eure Hilfe.

Ach und noch eine Frage zum Forum: Ist es irgendwie möglich, inline latex zu schreiben?

Comments

Für inline latex verwende

\( \)

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Nehmen wir mal an, dass es ein Tippfehler war und da steht

P(n)=\( n^{2} \)+n+41

Man geht davon aus, dass es für alle n kein p<10 gibt, so dass p P(n) ohne Rest teilt. Was ja auch richtig ist.

Betrachte dazu P(n) mod p

Answer 1

noch eine Frage zum Forum: Ist es irgendwie möglich, inline latex zu schreiben?

Ja, klicke auf Einf (oben links über dem Eingabefeld).  

Answer 2

Die Aussage ist falsch, denn es gibt ein ganz einfaches Gegenbeispiel .

Für n=2k ist 2 Teiler von P(n)=\( n^{2} \)+n+42

Comments

Tippfehler, es ist 41!