Finden Sie die Lösung des Polynoms.

Question

Aufgabe:

Finden Sie reelle Zahlen \( A, B \) und ein Polynom \( f \in \mathbb{R}[X] \), sodass gilt
$$ \frac{X^{3}+3 X+2}{(X+3)^{2}}=\frac{A}{X+3}+\frac{B}{(X+3)^{2}}+f(X) $$

Kann mr jemand ausführlich erklären, wie man diese Aufgabe löst. Ich habe auch eine Musterlösung, aber da fehlen zwischenschritts, sodass ich nicht weiß wie ich auf die Lösung komme.

Answer 1

(x^3 + 3·x + 2)/(x + 3)^2 = a/(x + 3) + b/(x + 3)^2 + c

Wir multiplizieren mit dem Hauptnenner

x^3 + 3·x + 2 = a·(x + 3) + b + c·(x + 3)^2

x^3 + 3·x + 2 = a·(x + 3) + b + c·(x^2 + 6·x + 9)

x^3/(x^2 + 6·x + 9) = (x - 6) + R

x^3 + 3·x + 2 = a·(x + 3) + b + (x - 6)·(x^2 + 6·x + 9)

x^3 + 3·x + 2 = a·x + 3·a + b + x^3 - 27·x - 54

x^3 + 3·x + 2 = x^3 + (a - 27)·x + (3·a + b - 54)

a - 27 = 3 --> a = 30

3·30 + b - 54 = 2 --> b = -34

Answer 2

Schritt für Schritt

(X+3)^2 = x^2+6x+9

Erweitern und alles auf eine Seite, dann betrachten wir die Summe der Koeffizienten, die muss immer 0 sein, damit folgt für x^3

f(x) ist von der Form

f(x)= 1*x+a

Koeffizienten von x^2

a=-6, →f(x)= x-6

Koeffizienten von x

36+3 -9= 30=A

Koeffizienten von x^0=1

2-90+54 = -34=B

Ich fasse zusammen:

f(x)= x-6 ;  A= 30;  B= -34

Comments

Hallo, Hogar, ich habe mitlerweile verstanden wie man solche Aufgaben löst. Nur leider verstehe ich nicht, wie man auf A=30 und B=-34 kommt. Ich wäre sehr Dankbar, wenn du es mir noch mal erklären würdest.

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Das (x+3)^2 = x^2 +6 x + 9

Habe ich geschrieben.

Warum ich f(x)= (x +a )

angenommen habe steht da auch.

Nun habe ich geschrieben, dass die Ausdrücke erweitert werden sollten

Und dann alles nach links gestellt werden sollte,  das war vermutlich zu kurz. Darum hohle ich es hier nach.

In der ersten Zeile steht der linke Zähler, nur, dass ich da 0* x^2 eingefügt habe.

In der zweiten Zeile steht

-1 x*(x^2+6x+9)

Alles schön sortiert.

In der 3. Zeile steht -a(x^2+6×+9)

In der 4. Zeile steht - A(x+3)

Und in der 5. Zeile steht- B

So , jetzt fange ich an, in der Hoffnung, dass alles in eine Zeile passt.

1 x^3  + 0x^2     + 3 x^1          + 2

-1x^3   -6 x^2       -9 x^1             +0

+0x^3    -a x^2    - 6a x^1        -9a

+0           + 0        -A  x^1          -3A

+0           + 0      +   0                 - B =0

Dort steht also nur der Zähler doch ,

Ich schließe mal x=-3 aus und dann ist der Ausdruck 0, wenn der Zähler = 0 ist.

Nun betrachte ich wie gesagt nur die Koeffizienten und fange mit x^ 3, an

1-1=0 es war also eine gute Idee, für f(x)  die Form (1*x+...) zu wählen.

Wir betrachten die Koeffizienten von x^2

-6-a= 0 und kommen auf

a=-6 daraus folgt f(x)= (1*x-6)=(x-6)

Wir betrachten die Koeffizienten von x^1=x können aber für

-6a = -6*(-6)=36 setzen

3 - 9 + 36 - A=0

A=30

Nun betrachten wir die letzte Spalte

Wir setzen -9 a =54; -3A=-90

2 + 54 -90 -B= 0

B= -34

Wie du hoffentlich gesehen hast, wird damit die Differenz von der linken Seite und der rechten Seite der Gleichung Null, dh. Die linke Seite ist gleich der rechten Seite, wenn

f(x)=(x-6)  ; A= 30  ; B= -34

Ich hoffe, das hat geholfen, sonst gerne weiter fragen.

:-)

P.s. mal habe ich x und mal X geschrieben, dass soll alles ein X sein.

Entschuldigung!