Vermutlich soll das t gefunden werden, wo der Wert das erstemal unter 10,5 ist.
Wenn ich mich nicht verzählt habe, ist
y(12)≈10,4751452804
Anfangs hatte ich einfach den Rechner genommen und die Werte nacheinander eingegeben, doch jetzt fange ich noch mal von vorne an
"Es ist gegeben, dass man 4yt = 3yt-1 +10 für (t=1,2,3...) lösen soll, wenn y0 = 25 ist."
Y0=25
4*Y1=3*25+10
Y1=(3*25+10)/4
Y1=(3*(10+15)+10)/4
Y1=(3*15+*4*10)/4
Y1=(3/4*15+10)
4Y2=3*(3/4*15+10)+10
4Y2=3^2/4*15+4*10
Y2=(3^2/4^2*15+10)
4Y3=3*(3^2/4^2*15+10)+10
4Y3=33/4^2*15+4*10
Y3=(33/4^3*15+10) usw
Yt=(3/4)^t*15+10
Es gibt also einen von t abhängigen Teil und einen von t unabhängigen Teil . Der von t unabhängigen Teil ist unser Grenzwert y=10
Wir können
Mit At=(3/4)^t*15 auch schreiben
Yt= At+y
An ist eine Folge, die gegen Null strebt, Yt strebt also gegen 10.
Nun soll ich das kleinste n finden, so dass dieser Abstand (unser An) kleiner 0,5 =1/2 ist.
An=(3/4)^t*15<1/2
(3/4)^t<1/30
ln((3/4)^t)<ln(1/30)
t*ln(3/4)<ln(1/30)
Achtung, wenn ich jetzt durch ln(3/4) dividiere, ändere ich die größer als Relation, denn ln(3/4)<0
Darum führt es zu
⌈Ln*(1/30)/ln(3/4)⌉=t=12
Oder auch, wie ich schrieb
⌈Ln*(1/30)/ln(0,75)⌉=t=12
Probe 1/(0,75^12)=31,57
Ich habe mich nicht verzählt, hätte aber auch nicht zählen müssen.
Bleibt nur noch zu sagen, dass die explizite Form dieser Folge lautet:
Y(t)= 15*0,75^t +10
y(∞)=10
