Bestimmen Sie mit Begrundung, ob ( Q , + , ∗) ebenfalls ein Körper ist

Question

Aufgabe:

Wir wissen bereits, dass (Q , + , ·) ein Körper ist. Wir definieren eine weitere Operation
∗ : Q × Q −→ Q
( a , b ) 7−→ a + b + a · b .

Bestimmen Sie mit Begrundung, ob ( Q , + , ∗) ebenfalls ein Körper ist?

Problem/Ansatz: Verständis Probleme- Körper

Ich verstehe nicht, wie man

∗ : Q × Q −→ Q
( a , b ) 7−→ a + b + a · b benutzt, um herauszufinden, ob (Q,+,*) ebenfalls ein Körper ist? Wie fange ich überhaupt damit an?

Comments

Die neue Verknüpfung, die du einführst, muss bestimmten Anforderungen genügen. Welche Eigenschaften muss denn ein Körper haben?

Answer 1

Prüfe die Körperaxiome, z.B.

Disributiv ?

a*(b+c) = a*b + a*c

a + (b+c) + a · (b+c)  =   a + b + a ·b  +  a + c + a ·c

<=>  a+b+c + ab + ac =  2a + b + c + ab + ac

Also sieht man schon: klappt nicht. Gegenbeispiel etwa

1 * (1+1) = 1*2 = 1+2+1 ·2 = 5   aber

1*1 + 1*1 = 1+1+1 ·1 + 1+1+1 ·1

               = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6

Also gilt das Distributivgesetz nicht ==>  kein Körper.