Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von X1 + X2

Question

Aufgabe:

Wir wuürfeln zweimal mit einem 6-seitigen Wuürfel. Die Zufallsvariablen X1 : Ω → {1,...,6},(a,b) → a und X2 : Ω → {1,...,6},(a,b) → b auf Ω = {1,...,6}^2 geben das Ergebnis des ersten bzw. zweiten Wurfs an.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von X1 + X2

Meine Lösung:

X1	X2	X1+X2
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	2

P(X1+X2=0) = 1/4

P(X1+X2=1) = 2/4

P(X1+X2=2) = 1/4

b) Bestimmen Sie E(X1 + X2)

Meine Lösung:

E(X1+X2) = 1/4 * 0 + 2/4 * 1 + 1/4 * 2 = 2/4 + 2/4 = 4/4 = 1

Problem/Ansatz:

Bei meiner Klausur habe ich von 4 möglichen Punkten leider null bekommen. Ich verstehe aber nicht wieso meine Lösung falsch ist. Wie hätte man diese Aufgabe sonst gelöst?

Bei einer älteren Frage auf meinem Profil, habe ich eine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe gestellt (Da wurde nach der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X1+X2+X3 gefragt) und eine Lösung bekommen, die ich dann auch bei dieser Aufgabe hier angewendet habe und es ist total falsch.

Comments

Hallo,

ich verstehe die Aufgabe so, dass X1 das ERgebnis des ersten Wüfelwurfs ist, dann müssten die Werte aber doch von 1 bis 6 gehen und nicht nur 0 und 1?? Ebenso für X2. Oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden?

Gruß

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Ok, das war dann mein Fehler, da ich die Aufgabenstellung falsch gelesen habe.

Answer 1

Aloha :)

\(X_1\) ist die Augenzahl des ersten Wurfs und \(X_2\) ist die Augenzahl des zweiten Wurfs. Wir überlegen uns alle möglichen Kombinationen für die Augensumme \(X_1+X_2\) anhand folgender Tabelle:

$$\begin{array}{lrrrrrr}& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\\hline 1: & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ 2: & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 3: & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ 4: & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ 5: & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\ 6: & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\end{array}$$

Wir erkennen insgesamt 36 mögliche Kombinationen und können abzählen, wie oft jede Augensumme vorkommt. Das liefert uns die Wahrscheinlichkeitsverteilung:$$\begin{array}{l}\text{Augensumme }X_1+X_2: & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\\text{Häufigkeit}: & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1\\\text{Wahrscheinlichkeit}:&\frac{1}{36}&\frac{2}{36}&\frac{3}{36}&\frac{4}{36}&\frac{5}{36}&\frac{6}{36}&\frac{5}{36}&\frac{4}{36}&\frac{3}{36}&\frac{2}{36}&\frac{1}{36}\end{array}$$

Als Erwartungswert erhalten wir:$$E(X_1+X_2)=\frac{1}{36}\cdot2+\frac{2}{36}\cdot3+\frac{3}{36}\cdot3+\frac{4}{36}\cdot5+\frac{5}{36}\cdot6+\frac{6}{36}\cdot7$$$$\phantom{E(X_1+X_2)}+\frac{5}{36}\cdot8+\frac{4}{36}\cdot9+\frac{3}{36}\cdot10+\frac{2}{36}\cdot11+\frac{1}{36}\cdot12=7$$