Zeige das die quadratische Gleichung genau zwei Lösungen besitzt

Question

Zeigen Sie, dass die quadratische Gleichung $w^{2}=z$ in $\mathbb{C}$ für $z \neq 0$ genau zwei Lösungen $w_{1}, w_{2}$ besitzt, und es gilt $w_{2}=-w_{1}$.

Leider keine richtige Idee wie ich anfangen soll.

Was ich bisher aufgeschrieben habe:

$w^2=z$

$\sqrt{w}=z^2$

$+- \sqrt{w}=z^2$

$w_{2}=z^2$

$-w_{1}=z^2$

$\sqrt{x}$

Answer 1

Hallo,

du kannst ja deine Gleichung zunächst gemäß den Körperaxiomen und unter Verwendung der dritten binomischen Formel so umformen:

Wir betrachten mal zwei Gleichungen der Form

$\omega^2=z$ und $\mu^2=z$, wobei $z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$.

Damit erhält man durch Subtrahieren beider Gleichungen

$0=z-z=\omega^2-\mu^2=(\omega+\mu)\cdot (\omega-\mu)$

Was kannst du jetzt sagen?

Comments

Hilft mir leider noch nicht weiter. :/

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@hallo97: Die Existenz von √z muss in diesem Zusamenhang erst gezeigt werden. Dazu reichen die Körperaxiome nicht aus.

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@Gast jc2144: Danke. Da hast du recht. Ich habe es oben angepasst, um die Wurzel zu umgehen.

@Katluvia: Wann ist denn die obige Gleichung ,,=0"?

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@hallo97, wenn $\omega$ und $\mu$ gleich sind. $\omega$=± $\omega$ und $\mu$=±$\mu$, oder?

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ω=± $\omega$ und $\mu$=±$\mu$, oder?

Nein. Es ist nach $\omega$ gefragt. Welche Werte muss $\omega$ annehmen, damit der Ausdruck $(\omega+\mu)\cdot (\omega-\mu)$ gleich Null ist?

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Additiv Inverses von $\mu$ ?

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Additiv Inverses von $\mu$ ?

Geht in die richtige Richtung, aber da ist auch $-\mu$ im Ausdruck enthalten.

Also wird der Ausdruck bei $\omega=-\mu$ oder $\omega=\mu$ gleich Null. Damit ist die Existenz von genau zwei Lösungen $\omega_1=-\mu$ und $\omega_2=\mu$ nachgewiesen.