Bestimmen alle Nullstellen!

Question

Aufgabe: z⁴-1

Problem/Ansatz:Bestimmen alle Nullstellen in a) Eulerdarstellung  b) Polardarstellung  c) kartesischer darstellung

Answer 1

Aloha :)

Hier hilft uns die 3-te binomsiche Formel:$$z^4-1=(z^2-1)(z^2+1)=(z^2-1)(z^2-i^2)=(z-1)(z+1)(z-i)(z+i)$$die Nullstellen \(\pm1\) und \(\pm i\) zu finden.

Comments

Danke für die Antwort das ist für A? Und B und C? Wie mache ich das?

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Sorry, das habe ich überlesen. Hier die Nachreichung:

Polardarstellung:

Die \(1\) liegt auf der Re-Achse, hat also mit dieser den Winkel \(0\).$$1=1\,e^{i\cdot0}$$Die \(-1\) liegt in der Gegenrichtung der Re-Achse, hat also den Winkel \(\pi\):$$-1=1\,e^{i\cdot\pi}$$\(i\) liegt auf der Im-Achse, hat also mit der Re-Achse den Winkel \(\pi/2\):$$i=1\,e^{i\cdot\pi/2}$$\(-i\) liegt in Gegenrichtung der Im-Achse, hat also mit der Re-Achse den Winkel \(-\pi/2\):$$i=1\,e^{-i\cdot\pi/2}$$

Kartesische Darstellung:

Nach dem oben Gesagten gilt:$$1=\binom{1}{0}\quad;\quad-1=\binom{-1}{0}\quad;\quad i=\binom{0}{1}\quad;\quad -i=\binom{0}{-1}$$

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Weißt du wie ich die Nullstellen von x⁸-1 in Kartesischer Darstellung machen ?

Answer 2

Es fehlt vermutlich =0.

Lösungen sind 1; -1; i und -i.

:-)

Comments

Ja z⁴-1=0

Z⁴=1......am Ende Z=±1, ±I

Ist das so richtig für Euler?

B und C weiß ich nicht wie ich das mache?