Aloha :)
Bei der Berechnung des Gradienten hilft uns die Produktregel:
$$\operatorname{grad} f(x_1;x_2;x_3)=\operatorname{grad}(\,\overbrace{x_1^2x_2}^{=u}\,\overbrace{e^{x_1x_2x_3}}^{=v}\,)=\left(\begin{array}{c}\overbrace{2x_1x_2}^{=u'}\,\overbrace{e^{x_1x_2x_3}}^{=v}+\overbrace{x_1^2x_2}^{=u}\,\overbrace{ \underbrace{e^{x_1x_2x_3}}_{=\text{äußere}}\,\underbrace{x_2x_3}_{=\text{innere}}}^{=v'}\\[4ex]\overbrace{x_1^2}^{=u'}\,\overbrace{e^{x_1x_2x_3}}^{=v}+\overbrace{x_1^2x_2}^{=u}\,\overbrace{ \underbrace{e^{x_1x_2x_3}}_{=\text{äußere}}\,\underbrace{x_1x_3}_{=\text{innere}}}^{=v'}\\[4ex]\overbrace{0}^{=u'}\,\overbrace{e^{x_1x_2x_3}}^{=v}+\overbrace{x_1^2x_2}^{=u}\,\overbrace{ \underbrace{e^{x_1x_2x_3}}_{=\text{äußere}}\,\underbrace{x_1x_2}_{=\text{innere}}}^{=v'}\end{array}\right)$$
$$\operatorname{grad} f(x_1;x_2;x_3)=e^{x_1x_2x_3}\left(\begin{array}{c}2x_1x_2+x_1^2x_2^2x_3\\x_1^2+x_1^3x_2x_3\\x_1^3x_2^2\end{array}\right)=e^{x_1x_2x_3}\left(\begin{array}{c}x_1x_2(2+x_1x_2x_3)\\x_1^2(1+x_1x_2x_3)\\x_1^3x_2^2\end{array}\right)$$
Speziell im Punkt \((1;2;3)\) beträgt der Gradient also:$$\operatorname{grad} f(1;2;3)=e^6\begin{pmatrix}16\\7\\4\end{pmatrix}$$Diesen müssen wir nur noch mit dem bereits normierten \(\vec v\) multiplizieren:$$D_{\vec v}f=\frac{e^6}{\sqrt6}\begin{pmatrix}16\\7\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}=\frac{43\,e^6}{\sqrt6}$$
