geeignete Linearkombination finden

Question

Aufgabe:

Sei v1 =

1

1

-1

, v2=

1

0

1

und v3 =

3

1

1

Sei u = v1 + v2 + v3.
Können Sie eine andere Darstellung von u als Linearkombination von v1, v2, v3 finden?
Genauer: Suchen Sie δ1, δ2, δ3 ∈ R, wobei mindestens ein δi 6= 1, so dass
u = δ1v1 + δ2v2 + δ3v3.

Problem/Ansatz:

Nur weiß ich nicht genau wie man so etwas löst..., gibt es da einen speziellen Satz hierfür?

Answer 1

Du zeigst: Die Vektoren sind lin. abh.

(Gauss-Algorithmus führt auf

1   1    3
0   1    2
0   0    0

Also wenn man die Faktoren -t ; -2t , t vor die

3 Vektoren setzt , gibt es den 0-Vektor.

Also z.b. mit 2  , 3  , 0    den gleichen wie die

Summe der drei.

Comments

du hast also die 3 vektoren als linearkombination gleich den nullvektor gesetzt und dann muss man einfach für -t, 2t und beliebige zahlen einsetzten, die dann eine andere Darstellung von u angeben oder?

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Hast du nicht ein minus bei 2t vergessen?

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Oh ja, danke. Wird korrigiert.

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Warum musst man denn zeigen, dass die Vektoren lin. abhängig sind und wie bist du auf die 2, 3, 0 gekommen?    Das die Werte funktionieren stimmt ja, aber ich habe den Rechenweg dahin nicht ganz verstanden. Wenn ich das in eine LGS nach den Variablen auflösen will klappt das irgendwie nicht.

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Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, gibt

es immer nur genau eine Darstellung für eine

Linearkombination von diesen.

Da du eine andere suchen sollst, musst

du erst mal prüfen, ob das geht,

ob also lin. Abhängigkeit vorliegt.

Answer 2

Hallo

einfach den Vektor u aus den 3 bilden, dann die 3 Gleichungen mit u = δ1v1 + δ2v2 + δ3v3. lösen, indem du das Komponentenweise schreibst.

wenn die vi linear unabhängig sind finden du keine andere Lösung ! also kannst d auch das zuerst untersuchen.

Gruß  lul

Comments

Aber es gibt doch andere Linearkombinationen, z.b x1=2, x2=3 und x3=0 oder x1= -0,5, x2= -2 und x3=2,5. Wenn man also x1*v1 + x2*v2 +x3*v3 nimmt, dann kommt auch wieder [5, 2, 1](als Splatenvektor) raus. Oder nicht?

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Wenn es zwei Darstellungen gibt, dann auch unendlich viele.