Wo ist der Fehler? Was kommt raus, 0 oder 1

Question

Aufgabe: Wo ist der Fehler?

\( \lim\limits_{x\to\infty}  (- log(x) - log(1/x))=1 oder 0  \)

Problem/Ansatz:

Ich sage :

\( \lim\limits_{x\to\infty}  (- log(x) - log(1/x))=1  \)

Wolfram Alpha sagt:

\(limit (- log(n) - log(1/n)) as n->infinity = 0 \)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28-log%28n%29-log%281%2Fn%29%29+as+n-%3Einfinity+

Wolfram Alpha, der Mathecoach und Roland haben recht, es ist 0.

Was ist dann an meiner Vorstellung falsch , dass die Fläche unter der Hyperbel f(x) =1/x von 0 bis 1 um 1 größer ist, als die Fläche von 1 bis Unendlich?

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Frage wurde geändert.

Answer 1

- LN(x) - LN(1/x)

= - LN(x) + LN((1/x)^{-1})

= - LN(x) + LN(x)

= 0

Damit dürfte der Grenzwert Null sein oder?

Comments

Ja, das ist richtig.

Ich dachte , das log (x) die Fläche unter der Hyperbel f(x)=1/x von 1 bis x sei, die Fläche von 0 bis 1 ist aber um 1 größer als die Fläche von 1 bis Unendlich. Was ist daran falsch?

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Wie groß ist denn die Fläche unter der Hyperbel im Bereich von 1 bis unendlich?

Und wie groß ist die Fläche unter der Hyperbel von 0 bis 1?

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Dir Differenz der Flächen ist 1, zumindest sagt mir das die Anschauung. Wenn ich die Fläche 1 bis ∞ an der y= x Achse spiegele, dann bleibt das Quadrat 1*1=1 über, wenn ich die Differenz betrachte.

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Unendlich + 1 ist nicht um genau 1 größer als Unendlich. Unendlich sind keine Werte bei denen du eine Differenz bilden darfst. Das ist mathematisch nicht erlaubt. Auch wenn das grafisch so aussehen mag.

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Das dachte ich mir schon, nur für alle x sind die Flächen vor und hinter 1 gleich, doch die Flächen, die noch fehlen , unterscheiden sich immer um 1/x*x=1

Answer 2

Wolframalpha hat recht. Betrachte doch einfach mal ausgewählte Werte dieses Terms: - log(x) - log(1/x).

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Ja, das hat der Coach auch gesagt, doch was ist dann an meiner Vorstellung falsch , dass die Fläche unter der Hyperbel f(x) von 0 bis 1 um 1 größer ist, als die Fläche von 1 bis Unendlich?

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Beide Flächen sind unendlich groß.

"unendlich plus 1" ist auch nur unendlich.

Aussagen wie "dieses unendlich ist größer als jenes unendlich" können so nicht getroffen werden.

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Ja, aber

\( \lim\limits_{x\to\infty}( -x-(-(x+1)))=1\)

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Das ist ja auch durchaus richtig. Solange du nicht versuchst, dies als Differenz unendlich großer Flächeninhalte zu interpretieren...

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Wenn ich  nachweisen, kann dass

A=B+1 , was spricht dann dagegen , dass B-A=1

Doch ich ahne meinen Fehler, denn ich nahm intuitiv an , dass ich die Flächen unter der Hyperbel mit den beiden Grenzwerten beschreiben könnte, doch so groß ich n auch wählen würde, immer würden noch zwei unendlich große Flächen übrig bleiben. Diese Flächen haben immer eine Differenz von 1, Doch das kann ich mit den von mir gewählten Ausdrücken nicht nachweisen, da diese nicht konvergieren, doch ihre Differenz ist immer 0.

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Die rote Fläche ist um das Einheitsquadrat ( also um 1 )  größer als die blaue Fläche.

Dies trifft für jedes a zu und ist auch für den Grenzübergang a → ∞ richtig.

Falsch ist hingegen die Annahme, dass diese rote Fläche für  a → ∞  durch den Grenzwert des Integrals _1/a∫¹ 1/x dx berechnet werden könnte. Richtig ist vielmehr, dass die rote Fläche eben dieses Integral plus der Rechtecksfläche mit der Breite 1/a und der Höhe a ist. Dieses Rechteck hat für jeden Wert von a den Flächeninhalt 1 und diese 1 muss in deiner anfänglichen Logarithmus-Gleichung mit berücksichtigt werden und dann ergibt sich tatsächlich die von dir anschaulich vermutete 1 als Differenz der beiden durch Integration berechneten Flächen.

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Stimmt, es war die irrige Annahme, dass die intuitiv angenommene Fläche berechnet werden könnte, da aber immer ein unendlich großer Teil übrig bleibt geht das nicht.

Was soll ich jetzt machen ?

Soll ich jetzt Roland die Wertung "Beste Antwort " geben?

Answer 3

f = - ln(x) - ln(1/x)
f = (-1) * ( ln(x) + ln(1/x) )
f = (-1) * ln(x * 1/x )
f = (-1) * ln( 1 )
f = 0