Zeigen Sie induktiv, dass xn < 4/3 ist

Question

Text erkannt:

Die Folge $\left(x_{n}\right)$ sei rekursiv definiert durch
$$x_{0}=1 \quad \text { und } \quad x_{n+1}=\frac{x_{n}}{4}+1$$

Text erkannt:

Zeigen Sie induktiv, dass $x_{n}<\frac{4}{3}$ für alle $n \in \mathbb{N}$

Kann mir jemand zeigen, wie das geht?

Answer 1

Kann mir jemand zeigen, wie das geht?

Nach Schema F.

Induktionsanfang $n=1$: $\, x_1=\frac{x_0}{4}+1=\frac{5}{4}=1.25<\frac{4}{3}=1.\overline{3} \quad \checkmark$

Induktionsvoraussetzung: Es exisitiert ein $n\in \mathbb{N}$, so dass $x_n<\frac{4}{3}$

Induktionsschritt: $x_n\leadsto x_{n+1}$: $\, x_{n+1}=\frac{x_n}{4}+1\overset{(\text{IV})}<\frac{\frac{4}{3}}{4}+1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$.

Comments

Vielen Dank.

Man geht also ganz normal die Induktion durch, egal ob es eine normale Folge oder rekursive Folge ist?

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Man geht also ganz normal die Induktion durch, egal ob ...

Was soll man denn sonst tun, wenn deine Aufgabe ausdrücklich verlangt:
"Zeigen Sie induktiv,... "????

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Doof gefragt, aber wäre der Grenzwert dann nicht auch 4/3, da man ja hier sieht, dass alle Folgenglieder sich 4/3 annähern, aber den Wert eben nicht erreichen?

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da man ja hier sieht

Wie "siehst" du das denn?

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Ich habe die nächsten Folgeglieder berechnet. Die Werte nähern sich immer weiter den Wert 4/3 an, erreichen ihn aber nicht.

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Erstens:

Wie kannst du sicher sein, dass der Grenzwert nicht

1,3333333333333333333333333333333336789 ist?

Zweitens:

Warum soll

erreichen ihn aber nicht.

ein Grenzwertargument sein? Die Folge ($\frac{sin(0,5n\pi)}{n}$) hat den Grenzwert 0.

Dabei IST jedes zweite Folgenglied 0.

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Ok schade, war nur eine Idee. Trotzdem danke für deine Zeit.

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Doof gefragt, aber wäre der Grenzwert dann nicht auch 4/3, da man ja hier sieht, dass alle Folgenglieder sich 4/3 annähern, aber den Wert eben nicht erreichen?

Hallo,

mit dem, was du zeigen sollst, kann man nicht einmal sagen, dass die Folge konvergiert. Denn, wenngleich sie nach oben durch 4/3 beschränkt ist, heißt das noch lange nicht, dass die Folge konverigert (sie könnte alternieren wie $(-1)^n$ oder gegen $-\infty$ gehen). Zeigst du jedoch, dass die Folge monoton wächst, dann kannst du eine Fixpunktgleichung über $x=\frac{x}{4}+1$ aufstellen, deren Lösung der Grenzwert ist. Und das ist dann tatsächlich 4/3.

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Tut mir leid, dass ich geholfen habe. Die Frage hat schon in zwei weiteren Foren einige Helfer beschäftigt.

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Alles klar, die Erklärung hab ich verstanden. Mir war nicht bewusst, dass eine Folge auch alternieren kann. Somit haben wir nur die beschränktheit festgestellt, aber für einen genauen Grenzwert reicht dann die vollständige Induktion nicht aus.

Sry für die vielen Fragen, ich versuchs immer lieber mittels Fragen zu verstehen, als einfach nur abzuschreiben.

Danke nochmal @racine_carrée

Answer 2

Es beginnt mit dem Induktionsanfang. Zeige zunächst, dass x₀<4/3 gilt.

Zeige dann, dass aus x_n<4/3 auch  $\frac{x_n}{4} -1<4/3$ folgt.