Wie hoch ist die Infektionswahrscheinlichkeit bei zwei negativen Tests?

Question

Aufgabe:

Wir nehmen an, dass ein Test für Sars-CoV-2 eine Sensitivität von 0,7 und eine Spezifizität von 0,95 hat.

Eine Person hatte Kontakt mit einer infizierten Person und entwickelt typische COVID-19 Symptome. Wir schätzen deshalb die Wahrscheinlichkeit einer Infektion vor dem Test auf 90%. In der Vorlesung haben wir die Infektionswahrscheinlichkeit berechnet, falls die Person einmal negativ getestet wurde. Wie hoch ist die Infektionswahrscheinlichkeit bei zwei negativen Tests? Nehmen Sie an, dass die Fehlerquellen der beiden Tests unabhängig sind.

Answer 1

Aloha ;)

Die Sensitiviät \((0,7)\) gibt den Anteil der richtig Positiven an, d.h. Kranke, die der Test auch als krank erkennt. Die Spezifizität \((0,95)\) gibt den Anteil der richtig Negativen an, d.h. Gesunde, die der Test auch als gesund erkennt. Die Wahrscheinlichkeit für eine Infektion sei \(0,9\). Lass uns das mal in einer Tabelle zusammenfassen:$$\begin{array}{rrr} & \text{C-infiziert} & \text{C-frei} & \text{Summe}\\\hline\text{Test pos.} & 0,7\cdot0,9& & \\\text{Test neg.} & & 0,95\cdot0,1 & \\\hline\text{Summe} & 0,9 & 0,1 &\end{array}$$

Den Rest der Tabelle können wir durch Summieren ausfüllen:$$\begin{array}{rrr} & \text{C-infiziert} & \text{C-frei} & \text{Summe}\\\hline\text{Test pos.} & 0,630 & 0,005 & 0,635 \\\text{Test neg.} & 0,270 & 0,095 & 0,365 \\\hline\text{Summe} & 0,900 & 0,100 & 1,000\end{array}$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person C-positiv ist und trotzdem negativ getestet wurde, ist:

$$p=\frac{\text{C-infiziert und Test. neg.}}{\text{C-infiziert}}=\frac{0,270}{0,90}=\frac{3}{10}=30\%$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person C-positiv ist und trotzdem 2-mal negativ getestet wurde, ist:

$$p_2=\frac{\text{C-infiziert und Test. 2-mal neg.}}{\text{C-infiziert}}=\frac{0,270\cdot0,270}{0,90}=\frac{81}{1000}=8,1\%$$