Untersuchen Sie, ob folgendes Polynom in ℚ[x] reduzibel oder irreduzibel ist: x4-4x3+6x2-4x+4

Question

Liebes Forum, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe und würde mich sehr über eure Hilfe freuen.

Untersuchen Sie, ob folgendes Polynom in ℚ[x] reduzibel oder irreduzibel ist: x⁴-4x³+6x²-4x+4

Ansatz:

p(x) =x⁴-4x³+6x²-4x+4

ich substituier das ganze mit

p(x-1) = x⁴-8x³+24x²-32x+19

nun würde ich mit Eisenstein fortfahren, also ich bestimme ein q=2, laut Eisenstein darf der erste Koeffizient nicht durch q teilbar sein und der letzte Koeffizient nicht durch q² teilbar sein, der 2-4 Koeffizient ist durch q teilbar. Bzw. (Wir wenden Eisenstein an mit der Primzahl q=2. So sehen wir, dass p(x-1) = x⁴-8x³+24x²-32x+19 irreduzibel ist in ℚ[x], also auch in p(x)?

Comments

x⁴-4x³+6x²-4x+4 hat nur komplexe Nullstellen, ist als im Reellen nicht zerlegbar.

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Genau, aber ist mein Lösungsvorschlag auch möglich?

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Ich kenne Eisenstein nicht.

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Das Absolutglied muss durch q teilbar sein! 19 ist nicht durch 2 teilbar. Schau dir stattdessen p(x+1) an, da kannst du Eisenstein drauf anwenden.

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hat nur komplexe Nullstellen, ist als im Reellen nicht zerlegbar.

Das ist kein Argument.

x^4+3x^2+2 hat auch nur (echt) komplexe Nullstellen, ist aber reduzibel...

Answer 1

dann habe ich p(x+1) = x⁴+3, bestimme eine primzahl q=3, laut Eisenstein ist somit das Polynom irreduzibel?

Comments

Ja, das ist richtig.