Wie löse ich diese Ungleichung geschickt?

Question

Hallo,

ich habe diese Reihe gegeben:  $$\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k(k+1)}}$$

Nun soll ich sie auf (absolute) Konvergenz untersuchen.

Ich habe das Leibnizkriterium angewendet:
1. mein a_k ist eine Nullfolge ✓
2. a_k ist monoton fallend

Hier beginnt mein Problem:

$$\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} ≥ \frac{1}{\sqrt{(k+1)(k+1+1)}}$$

Wie löse ich diese Ungleichung geschickt?

Answer 1

Aloha :)

Es gilt sogar das echte Größerzeichen:$$\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}>\frac{1}{\sqrt{(k+2)(k+1)}}$$Wenn du den Nenner eines Bruchs vergrößerst, wird das Vorhandene (der Zähler) ja durch mehr geteilt, also bekommt jeder weniger, sprich der Quotient wird kleiner.

Alternativ kannst du die Kehrwerte nehmen:$$\sqrt{k(k+1)}<\sqrt{(k+2)(k+1)}$$Dann sieht man es vielleicht deutlicher...

Comments

Vielen Dank, also müsste man hier nicht versuchen die Brüche umzuformen, da man es ja eigentlich direkt erkennen kann?

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Genau, ich würde da gar nichts zu schreiben. Es kann aber sein, dass dein Korrektor sehen möchte, dass du dir bei dem Schritt Gedanken gemacht hast. Deswegen kannst du was Kurzes dazu schreiben: "Vergrößern des Nenners führt zu einem Verkleinern des Quotienten".

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Super, vielen Dank!