Gleichung lösung/ Wurzel

Question

Aufgabe: Hallo ich hätte mal eine Frage,

also wenn ich eine Gleichung auflöse zum Beispiel

z^(-4)= 1 <- hier muss ich das doch dann hoch (-1/4) machen dann ist es doch

z= 1^(-1/4)

Problem/Ansatz:

Also z = 1^(1/4) ohne das minus hat bei der 1/4 hat + und - als Lösung, aber wie ist es mit einer -(1/4)?

Meine Frage ist ,ab wann ist es eine + und - 1 , also wann hat das z zwei Lösungen Gibt es da irgendwie eine Regel ?

Answer 1

Hallo

im Komplexen hat die n te Wurzel immer n Lösungen, die 4te Wurzel danach 4.

Zeichnerisch: z in der Gaussschen Ebene einzeichnen, den Winkel zu x- Achse in n Teile teilen.

rechnerisch die Zahl als r*e^{(iφ+k*i*2π)} schreiben k=0 bis n-1

dann nach Potenzgesetz hoch 1/n

hier 1=e^{i*(2π+k*2π))} 

ich sehe gerade du hast (1/z)^4 also dasselbe für 1/z oder  1/r*e^{(-iφ+k*i*2π)}

Gruß lul

Answer 2

z^-4=\( \frac{1}{z^4} \).

Answer 3

Nun kommt es drauf an, in welchen Zahlenraum wir uns befinden.

In ℂ hat die n-te Wurzel immer n Lösungen.

Die Ausnahme ist die Wurzel aus 0, die hat nur eine Lösung.

Alle anderen liegen auf einem Kreis und bilden ein regelmäßiges n- Eck.

Für |z|=1 liegen sie auf dem Eingeitskreis.

In ℝ gibt es davon aber nur zwei Lösungen oder eine oder häufig keine Lösung.