Aufgabe:
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
(i) $$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^{100}}{e^{x}}$$
(ii)$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sqrt[3]{x}}{\ln {x}}$$
(iii)$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x + cos x}{x - cos x}$$
(iv)$$\lim\limits_{x\to 0}x sin \frac{1}{x}$$
(v)$$\lim\limits_{x\nearrow 1} \ln{x} \ln{(1-x)}$$
Prüfen Sie bei jeder Verwendung der l’Hospitalschen Regel, dass deren Voraussetzungen erfüllt sind.
Hinweis: Um die Regel von l'Hospital auf ein Produkt der Form \( \lim \limits_{x \rightarrow a} f(x) g(x) \) anzuwenden mit \( \lim \limits_{x \rightarrow a} \int (x)=0 \) und \( \lim \limits_{x \rightarrow a} g(x)=\pm \infty, \) kann \( \lim \limits_{x \rightarrow a} \int (x) g(x) \) umgeschrieben werden zu
\( \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{g(x) / 1}{f(x)} . \) Außerdem kann die Regel von l'Hospital auch mehrmals hintereinander angewandt werden.
