Wie komme ich auf die Ordnung einer Gruppe?

Question

Aufgabe:

Sei a ∈ G, wobei G eine Gruppe mit sieben Elementen ist. Welche Werte können
bei der Ordnung von a, d. h. bei ord(a) vorkommen?

Problem/Ansatz:

ord(a) | ord(G) = 7
Da 7 eine Primzahl ist, kommen fur ord( ¨ a) nur die Werte 1 und 7 in Frage.

Dies ist die Lösung. Ich habe verstanden wie man die Ordnung eines einzelnen Elementes berechnet, aber nicht wie man auf diese Formel kommt. Setze ich für a die einzelnen Zahlen ein?

Answer 1

Wenn ein Element a die Ordnung n hat, dann bilden die

Elemente a,a^2 , a^3 , ..., a^n eine Untergruppe

von G, also ist deren Anzahl n ein Teiler der

Ordnung von G. Bei dir also nur 1 und 7 möglich.