Zeigen Sie die folgenden Aussage: (Themengebiet Eigenwert, Eigenvektor, Diagonalisierbarkeit)

Question

Aufgabe:

(a) Sei F : V → V eine lineare Abbildung mit Rang(F) = m. Dann besitzt F höchstens m+1 paarweise verschiedene Eigenwerte.

(b) Ist n ∈ ℕ und λ ∈ K ein Eigenwert von F, so ist λⁿ ein Eigenwert von Fⁿ .

(c) Ist F nilpotent, d.h. es existiert ein n ∈ ℕ mit Fⁿ = 0, so kann F nur den Eigenwert 0 haben.

(d) Ist F ein Isomorphismus, so ist λ ∈ K genau dann ein Eigenwert von F, wenn λ^-1 ein Eigenwert von F^-1 ist.

Problem/Ansatz:

Bei a.) haben wir in der Übungsgruppe schon den Ansatz gefunden über die Rangformel:

dim ker(F) = dim ((V)) - dim(im(F)) = dim V - m ; dim ker(F) = dim ker(F-0id) = dim E(F,0) ≤ μ(F,0) (algebraische Vielfachheit)

Nur komme ich da nicht weiter :(

Bei b.) und c.) bin ich ein wenig ratlos.

Bei d.) hab ich schon so angefangen:

F(v) = λv ; F^-1(F(v)) = F^-1(λv) = λF^-1(v)

Bin mir aber nicht sicher, wie es weiter gehen soll.

Comments

Gibt es Ideen?

Answer 1

Zu (a):

Sei \(\dim V=n\geq m\), dann ist \(\dim (Eig(0))=\dim Kern(F)=n-m\).

Der Eigenwert 0 ist also eine \((n-m)\)-fache Nullstelle des charakteristischen

Polynoms von \(F\).

Daher kann es nur maximal \(n-(n-m)=m\) Nullstellen \(\neq 0\)

geben, zusammen mit der 0 also maximal \(m+1\).

Zu (b):

Sei \(v\) Eigenvektor zu \(\lambda\). Dann gilt

\(F^n(v)=F^{n-1}(F(v))=F^{n-1}(\lambda v)=\lambda F^{n-1}(v)= ....\)

\(=\lambda^{n-1}F(v)=\lambda^n v\).

Zu (c):

Sei \(F^n=0\), dann ist \(F\) Nullstelle des Polynoms \(X^n\).

Das Minimalpolynom von \(F\) muss also ein Teiler von \(X^n\)

sein, das im Körper die einzige Nullstelle 0 besitzt. Da die Eigenwerte

Nullstellen des Minimalpolynoms sind, folgt, dass 0 der einzige

Eigenwert von \(F\) ist.

Zu (d):

\(F(v)=\lambda v\Rightarrow v=F^{-1}(F(v))=F^{-1}(\lambda v)=\)

\(=\lambda F^{-1}(v)\), also

\(\lambda^{-1} v=F^{-1}(v)\).