Zeigen Sie, dass die Vektoren (1 2 0), (2 1 0) e Z33 linear abhänging sind.

Question

Aufgabe:

Für einen Unterraum U /= 0 nennt man die Anzahl der Elemente einer Basis von U die Dimension von U (kurz: dimU). Für U = 0 setzt man dimU = 0.

a) Zählen Sie alle Elemente von Z33 auf.

b) Geben Sie eine Basis für Z33 an.

c) Zeigen Sie, dass die Vektoren (1 2 0), (2 1 0) e Z33 linear abhänging sind.

Answer 1

Kann es sein, dass du den ℤ₃³ meinst? Denn in Z₃₃ sind keine Vektoren.
Zu a) Du gehst ein mal alle Elemente, aus Z₃ (also den Zahlen bis 3), in den Feldern durch:

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3),
(1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3),
(1, 3, 1), (1, 3, 2), (1, 3, 3)

(2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 1, 3),
(2, 2, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 3),
(2, 3, 1), (2, 3, 2), (2, 3, 3)

(3, 1, 1), (3, 1, 2), (3, 1, 3),
(3, 2, 1), (3, 2, 2), (3, 2, 3),
(3, 3, 1), (3, 3, 2), (3, 3, 3)

b) Jetzt wollen wir eine Basis bestimmen, das heißt, wir brauchen mehrere Vektoren, sodass alle anderen aus diesen Dargestellt werden können:
Ich schlage daher (2, 0, 0), (0, 2, 0) und (0, 0, 2) vor.
Diese nutzen die Eigenschaften von Z₃ aus, dass die Zahlen "überlaufen" können.

1 x (2, 0, 0) = (2, 0, 0)

2 x (2, 0, 0) = (4, 0, 0) = (1, 0, 0)

3 x (2, 0, 0) = (6, 0, 0) = (3, 0, 0)

Damit kann jeder Wert in dem ersten Feld erzeugt werden, das gleiche gitl natürlich auch für die anderen beiden Vektoren der Basis.

c) Als letztes soll die lineare Abhängigkeit gezeigt werden von (1, 2, 3) und (2, 1, 3):

Dafür muss sich der eine dieser beiden Vektoren durch den anderen darstellen lassen. Wir probieren also mal:

1 x (1, 2, 0) = (1, 2, 0)

2 x (1, 2, 0) = (2, 4, 0) = (2, 1, 0)

Und da haben wir es schon gefunden!

Comments

In Z/3Z gilt 3=0.

Du solltest Deine Antwort dringend überdenken.

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Meine natürlich was du moniert hast, kriege es nur nicht hin über die Tastatur, bin dafür wohl zu alt.

Irgendwer wie meinst du das?

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Die Vektoren heißen nicht

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), usw.

sindern

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 0), usw.

Die Rechnung

3 x (2, 0, 0) =

ist Blödsinn, weil Du mit 0 multiplizierst.

Usw., usw., usw.