Funktion gesucht - Steckbriefaufgabe

Question

Aufgabe:

Funktionsgleichung zum Graph mit Hochpunkt bei (-1/1), verläuft durch den Ursprung, Wendepunkt bei x=-0,5

Problem/Ansatz:

...Funktionsgleichung zum Graph mit Hochpunkt bei (-1/1), verläuft durch den Ursprung, Wendepunkt bei Xw=-0,5

f´(-1) = 0

f(-1) = 1

f(0) = 0

f´´(-0,5) = 0

f(x) = a*x^3+b*x^2+c*x+d

f´(x) = 3*a*x^2+2*b*x+c

f´´(x) = 6*a*x+2*b

f´(-1) = 3*a-2*b+c = 0

f(-1) = -1*a+1*b-1*c = 1

f(0) = d = 0

f´´(-0,5) = -3*a-1*b = 0

Liege ich soweit richtig? Bzw. wie gehe ich weiter vor?

Antwort bitte mit vollständigem Rechenweg, danke!

Answer 1

Aloha :)

Die Gesuchte hat einen Wendepunkt. Also brauchen wir mindestens ein Polynom vom Rang 3:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$f''(x)=6ax+2b$$Die Gesuchte verläuft durch den Urpsrung:$$0\stackrel!=f(0)=d\implies d=0$$Die Gesuchte geht durch den Punkt \((-1|1)\):$$1\stackrel!=f(-1)=-a+b-c+d\implies -a+b-c=1$$Die Gesuchte hat einen Hochpunkt bei \(x=-1\):$$0\stackrel!=f(-1)=3a-2b+c\implies 3a-2b+c=0$$Die Gesuchte hat einen Wengepunkt bei \(x=-0,5\):$$0\stackrel!=f(-0,5)=-3a+2b\implies -3a+2b=0$$Wir haben also 3 Gleichungen für 3 Unbekannte:

$$\begin{array}{rrr|c|l}a & b & c & = &\text{Aktion}\\\hline-1 & 1 & -1 & 1 &\cdot(-1)\\3 & -2 & 1 & 0&+3\cdot\text{Zeile 1}\\-3 & 2 & 0 & 0 &+\text{Zeile 2}\\\hline1 & -1 & 1 & -1 &+\text{Zeile 2}\\0 & 1 & -2 & 3&\\0 & 0 & 1 & 0 &\\\hline1 & 0 & -1 & 2 &+\text{Zeile 3}\\0 & 1 & -2 & 3&+2\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 0 & 1 & 0 &\\\hline1 & 0 & 0 & 2 &\\0 & 1 & 0 & 3&\\0 & 0 & 1 & 0 &\\\hline\hline\end{array}$$Wir lesen die Lösung ab:$$a=2\quad;\quad b=3\quad;\quad c=0$$und haben die Gesuchte gefunden:$$f(x)=2x^3+3x^2$$

~plot~ 2x^3+3x^2 ; {0|0} ; {-1|1} ; {-0,5|2(-0,5)^3+3(-0,5)^2} ; [[-2|1|-2|5]] ~plot~

Answer 2

Soweit ist fast alles richtig.

(1) 3a-2b+c = 0

(2) -a+b-c = 1

(3) d = 0

(4) -3a+2b = 0

Jetzt (1)+(2)=(5) 2a-b=1

Dann 2·(5)+(4)

Comments

Wieso +2b und nicht 2b*(-0,5) = -b?

Und wie errechne ich nun die weiteren Werte?

---

Die zweite Ableitung ist ja 6ax+2b, d.h. 2b wird nicht mit x multipliziert.

Und wie errechne ich nun die weiteren Werte?

Das hat Roland in den letzten beiden Zeilen geschrieben.

Answer 3

Benutze die Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(-1)=1
f'(-1)=0
f(0)=0
f''(-0.5)=0

Gleichungssystem

-a + b - c + d = 1
3a - 2b + c = 0
d = 0
-3a + 2b = 0

Setze III in alle anderen ein

-a + b - c = 1
3a - 2b + c = 0
-3a + 2b = 0

II + I ; III

2a - b = 1
-3a + 2b = 0

II + 2I

a = 2 → a = 1

Dann rückwärts auflösen

Errechnete Funktion

f(x) = 2·x^3 + 3·x^2

Funktion

~plot~ 2x^3+3x^2 ~plot~