Eigenwert soll algebr. VFH 1 besitzen aber wird durch das Verfahren zur algebr. VFH 2?

Question

Ich habe eine Aufgabe, in der ich eine reelle 2x2 Matrix mit zwei freien Parametern t und k (t, k ∈ ℝ) gegeben habe und habe auch bereits die Aufgabe, die Eigenwerte λ der Matrix zu berechnen, gelöst.

Diese Eigenwerte sind einmal λ_1,2=-\( \frac{1}{2} \) (t±\( \sqrt{t^2-4k} \)). Nun sollen t und k so bestimmt werden, dass die EW die algebraische VFH 2 besitzen, d.h. ja dass λ₁=λ₂ gelten soll. Hier bin ich dann auf ein Problem gestoßen, das mich etwas verunsichert hat.

Und zwar muss für diese Eigenschaft ja gelten, dass die Diskriminante Null sein muss, also t²-4k=0. Wenn ich nach k auflöse bekomme ich k=\( \frac{1}{4} \)t² raus, was dazu führt, dass λ_1,2=-\( \frac{1}{2} \)t ist, aber wenn ich die Diskriminante gleich null nach t auflöse, bekomme ich durch das Ziehen der Wurzel t=±\( \sqrt{4k} \) raus. Wenn ich das jetzt für t in die EW einsetze, bekomme ich wieder zwei Eigenwerte raus.

λ_1,2=-\( \frac{1}{2} \) (t±\( \sqrt{t^2-4k} \)) wenn ich da unter der Wurzel t=±\( \sqrt{4k} \) für t einsetze ist das mit dem ± kein Problem, das wird durch die Zweierpotenz ja sowieso positiv und die Diskriminante wird Null aber für das andere t muss ich das ja auch einsetzen und bekomme dann als EW λ_1,2=±\( \frac{1}{2} \) \( \sqrt{4k} \) also doch zwei EW.

Wo steckt mein Fehler? Eigentlich müsste es ja egal sein ob ich die Diskriminante gleich null setze und dann nach t oder k auflöse, aber hier macht das durch das Wurzelziehen ja einen Unterschied ob ich nach t oder k auflöse... Vielen Dank schonmal für eure Antwort

Comments

Du hast dann zwei Fälle (Matrizen) mit einem EW alg. Vielfachheit 2

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Danke für deine Antwort!

Sind das dann nicht sogar drei Fälle?

Wenn man die Diskriminante t²-4k=0 einmal nach k auflöst und k=\( \frac{1}{4} \)t² bekommt und damit

1. Fall λ₁=λ₂= -\( \frac{1}{2} \)t.

Oder die Diskriminante t²-4k=0 nach t auflöst und t=±\( \sqrt{4k} \) bekommt und damit allgemein λ_1,2=±\( \frac{1}{2} \) \( \sqrt{4k} \) erhält und damit

2. Fall λ₁=λ₂= +\( \frac{1}{2} \) \( \sqrt{4k} \) und

3. Fall λ₁=λ₂= -\( \frac{1}{2} \) \( \sqrt{4k} \)

Aber wie kann das denn sein dass es drei möglichkeiten einer 2x2 Matrix zur algebraischen Vielfachheit von 2 gibt? Jetzt bin ich endgültig verwirrt...

Answer 1

Das wird ja richtig Arbeit mit Dir ;-)

Du hast sagen wir die Matrix

\(\small A \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}-t&1\\-k&0\\\end{array}\right)\)

und damit

\(\small \left\{ \lambda = \frac{-t + \sqrt{-4 \; k + t^{2}}}{2}, \lambda = \frac{-t - \sqrt{-4 \; k + t^{2}}}{2} \right\} \)

Diskriminante = 0 ===>

\(\small \left\{ t_1 = -2 \; \sqrt{k},\quad t_2 = 2 \; \sqrt{k} \right\} \)

\(\small A_{t_1}=\left(\begin{array}{rr}-2 \; \sqrt{k}&-1\\k&0\\\end{array}\right),\quad \lambda^{2} + 2 \; \sqrt{k} \; \lambda + k=0, \quad \lambda = -\sqrt{k}   \)

\(\small A_{t_2}=\left(\begin{array}{rr}2 \; \sqrt{k}&-1\\k&0\\\end{array}\right),\quad \lambda^{2} - 2 \; \sqrt{k} \; \lambda + k,\quad \lambda = \sqrt{k}   \)

Du solltest die Originalaufgabe einstellen...

Comments

Oh man sorry, ja die Matrix wär für dich natürlich mal gut zu wissen...

Ich hab A= \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -k & -b \end{pmatrix} \)

Die Charakteristische Gleichung der Matrix A ist λ²+tλ+k=0, die sollte auch soweit stimmen. Auf den EW λ=-\( \sqrt{k} \) und λ=\( \sqrt{k} \) die ja beide die algebraische VFH 2 haben, so haben wir sie ja bestimmt, komme ich ja auch, aber wenn man die Diskriminante gleich Null nach k statt nach t auflöst bekommt man ja k=\( \frac{1}{4} \)t² und damit ja den EW λ=-\( \frac{1}{2} \)t² der auch die algebraische VFH 2 besitzt. Der ist doch noch eine weitere Möglichkeit für einen EW mit algebr. VFH 2, also gibt es drei Möglichkeiten für EW mit algebr. VFH 2, richtig?

Und das verwirrt mich eben, dass es mehrere Möglichkeiten für Eigenwerte mit algebraischer VFH 2 gibt, das ist jetzt nur wegen der Parameter so, oder? Sonst kann eine 2x2 Matrix ja nicht mehrere EW mit algebraischer VFH 2 besitzen?

Vielen Dank auf jeden Fall für deine Geduld und ausführliche Antwort!

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Hm,

Du bekommst keinen neuen Fall, Du bekommst nur eine andere Abhängigkeit also entweder λ(t) oder λ(k). Solange da nix weiter in der Aufgabe kommt.

Ist das ja ein lineares GLS mit einer freien Variablen, wo Du für die Lösung entweder t oder k als freie Variable wählen kannst - die Lösung (geometrisch eine Gerade) ist durch die eine Form genauso gut beschrieben wie durch die andere.