Summen- und Produktzeichen (Termvereinfachung)

Question

Vereinfachen Sie die folgenden Terme soweit wie möglich:

Aufgabe a:

$$ \sum _ { i = 0 } ^ { n } \frac { i ( i + 4 ) } { 2 } + \sum _ { i = 4 } ^ { n + 4 } \frac { i ( i - 4 ) } { 2 } - \sum _ { i = 0 } ^ { n } \left( i ^ { 2 } + 3 i \right) $$

Aufgabe b:

$$ \frac { \prod \limits _ { i = 1 } ^ { 2 n } ( 2 i ) } { \prod \limits _ { i = 1 } ^ { n } i \cdot \prod \limits _ { i = 0 } ^ { n - 1 } ( 4 i + 2 ) } $$

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Summenzeichen mit Bruchfunktionen vereinfachen - Wie geht das?

Stichworte: summe,brüche,vereinfachen,termumformung,summenzeichen

Wir haben in meinem Mathe-Modul in der Uni mit einem neuen Stoffgebiet angefangen. Nun soll ich die folgende Summe vereinfachen:

$$ \sum _{ i=0 }^{ n }{ \frac { i(i+4) }{ 2 }  } +\sum _{ i=4 }^{ n+4 }{ \frac { i(i-4) }{ 2 }  } -\sum _{ i=0 }^{ n }{ ({ i }^{ 2 } } +3i) $$

Ich weiß nicht, wie ich mit dem Summenzeichen umgehen soll. In Grundzügen versteh ich das Summenzeichen (also soweit wie ich es bis jetzt für Programmierung gebraucht habe), aber ich weiß nicht, wie ich es vereinfachen kann.

Answer 1

Eine Kurzanleitung:

a)

Links kannst du die 2. Summe auch von 0 bis n laufen lassen, wenn du dafür den Bruch umschreibst zu ((i+4)*i)/2

Dann das Summenzeichen vorziehen und die Terme mit i drinn zusammenfassen. Es bleibt voraussichtlich schlimmstenfalls eine arithmetische Reihe.

b)

rechts weiss ich noch nicht genau, wie's am schnellsten geht.

du könntest z.B. oben 2²ⁿ * Produkt(i=1 bis 2n) i schreiben. Das wäre 2²ⁿ 2n!

unten hast du zuerst n!

und dann 2ⁿ * Produkt(i=0 bis n-1) 2i+1 =  2ⁿ * Produkt(i=0 bis n-1) 2i+1

 

Vermutlich hilft dir das ein Stück weiter.

Gib doch bitte im Kommentar (falls du ihn hast) noch deinen Latex-Text für die schönen Formeln an, die du eingegeben hast, da ist es einfacher die Umformungen 'schön' hinzuschreiben.

Comments

Ich mach b) jetzt umgekehrt

du könntest z.B. oben 2²ⁿ * Produkt(i=1 bis 2n) i schreiben. Das wäre 2²ⁿ 2n!

unten hast du zuerst n!

und dann 2ⁿ * Produkt(i=0 bis n-1) 2i+1 =  2ⁿ * Produkt(i=0 bis n-1) 2i+1

Ich mach b) jetzt unten umgekehrt

Das erste Produkt dort ist auch das Produkt(i= 1 bis n) (2i/2) =1/2ⁿ *Produkt(i= 1 bis n) (2i)

und dann das zweite Produkt

2ⁿ * Produkt(i=0 bis n-1) 2i+1 =  2ⁿ * Produkt(i=0 bis n-1) 2i+1 =

  2ⁿ * Produkt(i=1 bis n) 2i-1

nun kürzen sich 2ⁿ und 1/2ⁿ unten weg und die Produkte können zusammengefasst werden zu

Produkt(i=1 bis n) (2i-1)*2i

Also jeweils eine ungerade Zahl * die nächste gerade. somit kommen alle nat. Zahlen bis 2n vor

Also steht unten Produkt(i=1 bis 2n) i  

Total: Zähler durch Nenner: Produkt wegkürzen. = 2²ⁿ  wäre mein Resultat

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Muss dich nochmal bitten zu erklären wie du gesehen hast, dass bei b) das letzte produkt "Produkt(i=1 bis n) (2i-1)*2i" auch gleichzeitig "Produkt(i=1 bis 2n) i" ist.

Habe bei allem kram immer n=1 bis n=3 eingesetzt und hätte da nur zufällig drauf stoßen können; bzw. hätte man danach suchen können beim studieren von allem was man hat. Kann man das schneller sehen?

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Ich hatte ja erst mal keine schlaue Strategie und einfach etwas rumprobiert.

Dann hatte ich mich einfach dran erinnert, dass da ein Produkt von ungeraden Zahlen vorkommt. Und ich noch nicht wusste, wie ich das mit geraden Zahlen oben kürzen soll.

Zudem hattest du ja zu Recht reklamiert wegen meiner ersten Umformung bei der Summe.

Ich dachte wohl, dass der Aufgabensteller beim Produkt etwas Ähnliches will: 'von bis' irgendwie schlau anpassen und nochmals probiert. Mehr kann ich dir dazu nicht sagen.

Answer 2

Ich probiere mal den Ausdruck zu vereinfachen.

∑ i=0 to n (i*(i+4)/2) + ∑ i=4 to n+4 (i*(i-4)/2) - ∑ i=0 to n (i^2 + 3i)
∑ i=0 to n (i*(i+4)/2) + ∑ i=0 to n ((i+4)*(i)/2) - ∑ i=0 to n (i^2 + 3i)
∑ i=0 to n (i*(i+4)/2 + (i+4)*(i)/2 - i^2 + 3i)
1/2 * ∑ i=0 to n (i*(i+4) + (i+4)*(i) - 2i^2 + 6i)
1/2 * ∑ i=0 to n (i^2 + 4i + i^2 + 4i - 2i^2 + 6i)
1/2 * ∑ i=0 to n (14i)
∑ i=0 to n (7i)
7·n·(n + 1)/2