Hallo Moritz,
Willkommen in der Mathelounge!
Zum Ableiten benötigst Du hier die Produktregel und musst wissen, dass die Ableitung von \(e^x\) wieder \(e^x\) ist. Es ist also$$\begin{aligned} f_a(x) &= (ax-1) \cdot e^x \\ f'_a(x) &= a \cdot e^x + (ax-1) \cdot e^x \\&= (ax+a-1) \cdot e^x \\ f''_a(x) &= a \cdot e^x + (ax+a-1) \cdot e^x \\&= (ax+2a-1) \cdot e^x\end{aligned}$$aus der Bedingung \(f'(x_e) = 0\) folgt dann $$(ax_e+a-1) \cdot e^{x_e} = 0 \\ \implies ax_e+a-1 = 0 \implies x_e = \frac{1-a}{a}$$Jetzt noch prüfen, ob \(f''_a(x_e) \ne 0\) ist$$\begin{aligned}f''_a(x_e) &= (ax_e+2a-1) \cdot e^{x_e} \\&= (1-a + 2a - 1) \cdot e^{x_e} \\&= a \cdot e^{x_e}\end{aligned}$$ist also genau dann \(\ne 0\), wenn \(a \ne 0\) ist, was lt. Voraussetzung \(a \gt 0\) immer erfüllt ist. Der Term \(e^x\) ist für jedes \(x\) größer als \(0\).
Ein Beispiel für \(a=2\), dann wäre \(x_e=-1/2\):
~plot~ (2x-1)*e^(x);{-1/2|-2*e^(-1/2)};x=-1/2 ~plot~
