Ähnlichkeit Matrix, Polynome

Question

Es sei \( \mathbb{K} \) ein Körper und \( p \in \mathbb{K}[X] \) ein Polynom. Beweisen Sie die folgende Aussage:
Wenn \( A, B \in \mathbb{K}^{n \times n} \) zueinander ähnlich sind, sind auch \( p(A) \) und \( p(B) \) zueinander ähnlich.

Mein Ansatz:

Sei S eine invertierbare Matrix, dann gilt: A = S^-1 * B * S und es folgt:

p(A) = p(S^-1 * B * S) = p(S^-1) * p(B) * p(S)

an dieser Stelle komme ich leider nicht weiter, könnte mir da jemand weiterhelfen?

Comments

Hallo,

Dein Ansatz ist wahrscheinlich richtig gemeint, aber falsch formuliert. Richtig ist: Es gibt eine reguläre Matrix S mit \(A=S^{-1}BS\).

Zu weiteren: Das zweite Gleichheitszeichen ist unbegründet und i.allg. falsch. Du musst zunächst

$$A^k=A\cdot A \cdots A$$

durch B ausdrücken und dann in \(p(A)\) einsetzen.

Gruß

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p(S^-1 * B * S) = p(S^-1) * p(B) * p(S)

Polynome sind doch nicht multiplikativ??!

Beweise mit vollständiger Induktion, dass \( (S^{-1} B S)^k = S^{-1} B^k S \) und setze das dann in das Polynom ein und wende dann die Distributivgesetze der Matrizenrechenung an.

Sei S eine invertierbare Matrix, dann gilt: A = S^-1 * B * S und es folgt:

Dieser Satz ist auch maximal unglücklich formuliert. Besser wäre

Sei S eine invertierbare Matrix, sodass A = S^-1 * B * S. Dann folgt...

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Danke für eure Hinweise :)