Orthonormalbasis, kubische Polynome

Question

ich hänge gerade ratlos bei dieser Aufgabe. Könnte mir das jemand vielleicht vorrechnen? !!

Auf dem Vektorraum \( \mathbb{R}[t]_{3}:=\operatorname{span}\left(1, t, t^{2}, t^{3}\right) \subset \mathbb{R}[t] \) der reellen, kubischen Polynome in \( t \) sei das Skalarprodukt \( s: \mathbb{R}[t]_{3} \times \mathbb{R}[t]_{3} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( s(P, Q)=\int \limits_{-1}^{1} P(t) Q(t) \mathrm{d} t \)
gegeben. Bestimmen Sie
a) die Matrix von \( s \) bezüglich der Basis \( \left(t^{0}, t^{1}, t^{2}, t^{3}\right) \) und
b) eine Orthonormalbasis von \( \mathbb{R}[t]_{3} \).

Comments

Was genau soll man dir vorrechnen?

in a) musst du nur \( s(t^i,t^j) \) für i, j = 0, 1, 2, 3 ausrechnen. Da muss man also einfach nur einfache Polynome integrieren. Wo genau liegen da deine Schwierigkeiten?

bei b) wendet man zB einfach Gram Schmidt an, das ist auch nur einsetzen und rechnen...

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahren

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zu a) was genau muss ich hier integrieren? Ich habe ja nur P(t) und Q(t) da stehen, allerdings keine Definition dafür. Ist P=\( \sum \limits_{i=0}^{3} a_it^i \) und Q=\( \sum \limits_{j=0}^{3} b_jt^j \) und dementsprechend  \( P \quad Q =  \sum \limits_{i=0}^{3} \sum \limits_{j=0}^{3} a_ib_jt^(i+j) \)? Was sind P und Q?

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P und Q sind einfach die Variablen der Abbildung du rechnest:

$$ s(t^i,t^j) = \int_{-1}^1 t^i \cdot t^j ~\textrm d t = \int_{-1}^1 t^{i+j} ~\textrm d t = \left[ \frac{1}{i+j+1} t^{i+j+1} \right]_{-1}^1 = \dotsm $$

Du setzt also für P gerade \( t^i \) und für Q einfach \( t^j \) ein.

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Achso okay danke!!!

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Nein, du musst alle möglichen 16 Kombinationen bilden (einige kannst du natürlich zusammenfassen, da das Ergebnis dasselbe sein wird. Die gesuchte Matrix ist

$$ \begin{pmatrix} s(t^0,t^0) & s(t^0,t^1) & s(t^0,t^2) & s(t^0,t^3)\\\\ s(t^1,t^0) & s(t^1,t^1) & s(t^1,t^2) & s(t^1,t^3)\\\\ s(t^2,t^0) & s(t^2,t^1) & s(t^2,t^2) & s(t^2,t^3)\\\\ s(t^3,t^0) & s(t^3,t^1) & s(t^3,t^2) & s(t^3,t^3)\end{pmatrix} $$

und da setzt du dann einfach die 16 berechneten Werte ein.

Answer 1

vielleicht hilft auch das:

https://www.mathelounge.de/805883/bestimmen-sie-eine-orthogonale-basis