Zeigen Sie: Es gibt ein z und ein w Element der komplexen Zahlen mit der folgenden Eigenschaft cos z = w

Question

Ist w element der komplexen zahlen, so gibt es ein z element der komplexen zahlen mit cos z = w

Answer 1

Ich führe wieder den Beweis durch Nachrechnen:

Gehe über die komplexe Definition des Cosinus:

$$ \begin{array} { l } { \cos ( z ) = \frac { e ^ { i z } + e ^ { - i z } } { 2 } = w } \\ { e ^ { i z } + e ^ { - i z } = 2 w } \\ { e ^ { 2 i z } - 2 w e ^ { i z } + 1 = 0 } \end{array} $$

Das ist nun eine quadratische Gleichung in y = e^iz:

y² - 2wy + 1 = 0

(y-w)² + 1 - w² = 0

y = w ±√(w²-1)

Es gilt also:
e^iz = w±√(w²-1)

Falls der komplexe Logarithmus bereits bekannt ist, dann gilt im Hauptzweig:
z_1/2 = -i*ln(w±√(w²-1))

Ansonsten:

Sei z von der Form z = x+iy. Außerdem nennen wir q = w±√(w²-1)

e^x * e^iy = |q| * e^iφ

wobei φ dem Winkel in der Polardarstellung entspricht, also abschnittsweise definiert ist, als:

       (  arctan (Im(q)/Re(q))       , falls Re(q) > 0
φ = {  arctan (Re(q)/Im(q)) ± π, falls Re(q) < 0
       (  ±π/2                                   , falls Re(q) = 0

Durch vergleich erkennt man:
Re(z) = x = ln(|q|)
Im(z) = y = φ

Beachte, dass ln(|q|) nun der gewöhnliche Logarithmus einer reellen Zahl ist.

z = ln(|q|) + iφ

z = ln(|w±√(w²-1)|) + i*arg(w±√(w²-1))

Insbesondere ist w±√(w²-1) eine Zahl ungleich 0, also ist der reelle Logarithmus wohldefiniert.