Konvergenz von Folgen und Konvergenz von Reihen

Question

Aufgabe:

Diese Aufgaben, über Konvergenz und absolute Konvergenz, machen mir echt zu schaffen, könnte mir da villt einer helfen? :)

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Untersuchen Sie die nachstehend definierten Folgen auf Konvergenz oder Divergenz (jeweils
2 Punkte):
a) \( \left(\frac{n^{2}(n+1)+\left(n+\frac{1}{n}\right)^{3}+5}{7 n \sqrt{n^{4}+1}+2 \frac{n}{n+1}}\right)_{n \in \mathbb{N}} \)
b) \( \left(\sqrt{n^{2}+n}-n\right)_{n \in \mathbb{N}} \)
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz, absolute Konvergenz oder Divergenz (jeweils 3 Punkte):
c) \( \sum \limits_{k=2}^{\infty}\left(\begin{array}{c}k \\ 2\end{array}\right) \frac{(-2)^{k}}{k !} \),
d) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1-5^{-k} k}{k} \).

Answer 1

Hallo

a) Doppelbrüche entfernen, dann durch di höchste vorkommende Potenz von n teilen.

b) mit der Summe der Wurzel erweitern, dann wie a)

bi den Summen hast du Konvergenzkriterien gelernt , divergierende Minorante für b) für a  Leibnitz und Quotientenkriterium.

Gruß lul

Comments

Tut mir leid ich kann irgendwie nicht das umsetzen, könntest du mir zeigen wie man bei a) den Doppelbruch auflöst grade bei dem Term mit hoch 3 und wie man dann durch die höchste potenz teilt. Ich kriegs nicht hin sry.

Zu b) verstehe ich nicht wie ich das erweitern kann, tut mir leid könntest du mir das mal zeigen also wie erweitere ich eine Wurzel? noch nie gemacht...

Bei den Reihen habe ich mich an die b) versucht aber ich finde einfach keine Minorante also keine Summe die kleiner ist die ich mit der richtigen Summe abschätzen kann, sodass man sieht, dass die Summe divergiert

Ich habe die Summe erst umgeschrieben in:

∑ (1-5^-kk)/ k = ∑ (1-(k/5^k)/ k = ∑ (5^k-k)/ 5^{k *} k

wie ich das dann mit einer Minorante abschätzen kann weiß ich leider nicht.

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Und weiter verwirrt mich bei der ersten Reihe, dass es wie in der binomischen Formel aufgeschrieben ist mit "k über 2" ich kenne nur Reihen wie ∑ (-1)ⁿ a_n bei denen ich weiß, ich muss für das Leibnizkriterium zeigen, dass a_n eine monoton fallende Null-Folge ist und das reicht um zu sagen, dass die Reihe konvergiert.

Bei dem Bsp. ist es nur so, dass ich nicht weiß wie ich vorangehen muss, weil es wie in der binomischen Formel geschrieben ist und mich das verwirrt.

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Hallo

zur ersten Frage:  √a-√b=(√a-√b)*(√a+√b)/(√a+√b)=(a-b)/(√a+√b)

2) |1/k-1/5^k| >1/2k denn 1/5^k<1/2k

3) die Binomialkoeffizienten schreib in Fakultäten um

Gruß lul